Номер 298, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

17. Решение неравенств методом интервалов. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 298, страница 98.

Условие.

298. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Решим неравенство $ \frac{5x+4}{x} < 4 $. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 0$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{5x+4}{x} - 4 < 0 $

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$ \frac{5x+4 - 4x}{x} < 0 $

$ \frac{x+4}{x} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x+4=0 \implies x=-4$.

Нуль знаменателя: $x=0$.

Нанесем точки -4 и 0 на числовую прямую. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое, а знаменатель не может быть равен нулю.

Определим знаки выражения $ \frac{x+4}{x} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -4)$: возьмем $x=-5$, получим $ \frac{-5+4}{-5} = \frac{-1}{-5} > 0 $.
• Интервал $(-4; 0)$: возьмем $x=-1$, получим $ \frac{-1+4}{-1} = -3 < 0 $.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$, получим $ \frac{1+4}{1} = 5 > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше нуля. Это интервал $(-4; 0)$.

Ответ: $x \in (-4; 0)$.

б)

Решим неравенство $ \frac{6x+1}{x+1} > 1 $. ОДЗ: $x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{6x+1}{x+1} - 1 > 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{6x+1 - (x+1)}{x+1} > 0 $

$ \frac{6x+1 - x - 1}{x+1} > 0 $

$ \frac{5x}{x+1} > 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $5x=0 \implies x=0$.

Нуль знаменателя: $x+1=0 \implies x=-1$.

Нанесем на числовую прямую выколотые точки -1 и 0.

Определим знаки выражения $ \frac{5x}{x+1} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x=-2$, получим $ \frac{5(-2)}{-2+1} = \frac{-10}{-1} = 10 > 0 $.
• Интервал $(-1; 0)$: возьмем $x=-0.5$, получим $ \frac{5(-0.5)}{-0.5+1} = \frac{-2.5}{0.5} = -5 < 0 $.
• Интервал $(0; +\infty)$: возьмем $x=1$, получим $ \frac{5(1)}{1+1} = \frac{5}{2} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше нуля.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (0; +\infty)$.

в)

Решим неравенство $ \frac{x}{x-1} \ge 2 $. ОДЗ: $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{x}{x-1} - 2 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x - 2(x-1)}{x-1} \ge 0 $

$ \frac{x - 2x + 2}{x-1} \ge 0 $

$ \frac{-x+2}{x-1} \ge 0 $

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:

$ \frac{x-2}{x-1} \le 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $x-2=0 \implies x=2$. Точка закрашенная, так как неравенство нестрогое.

Нуль знаменателя: $x-1=0 \implies x=1$. Точка выколотая, так как на ноль делить нельзя.

Нанесем точки на числовую прямую: 1 (выколотая) и 2 (закрашенная).

Определим знаки выражения $ \frac{x-2}{x-1} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; 1)$: возьмем $x=0$, получим $ \frac{0-2}{0-1} = 2 > 0 $.
• Интервал $(1; 2]$: возьмем $x=1.5$, получим $ \frac{1.5-2}{1.5-1} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 < 0 $.
• Интервал $[2; +\infty)$: возьмем $x=3$, получим $ \frac{3-2}{3-1} = \frac{1}{2} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение меньше или равно нулю.

Ответ: $x \in (1; 2]$.

г)

Решим неравенство $ \frac{3x-1}{x+2} \ge 1 $. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть:

$ \frac{3x-1}{x+2} - 1 \ge 0 $

Приведем к общему знаменателю:

$ \frac{3x-1 - (x+2)}{x+2} \ge 0 $

$ \frac{3x-1-x-2}{x+2} \ge 0 $

$ \frac{2x-3}{x+2} \ge 0 $

Решим методом интервалов. Нули числителя и знаменателя:

Нуль числителя: $2x-3=0 \implies x=1.5$. Точка закрашенная.

Нуль знаменателя: $x+2=0 \implies x=-2$. Точка выколотая.

Нанесем на числовую прямую точки -2 (выколотая) и 1.5 (закрашенная).

Определим знаки выражения $ \frac{2x-3}{x+2} $ на интервалах:

• Интервал $(-\infty; -2)$: возьмем $x=-3$, получим $ \frac{2(-3)-3}{-3+2} = \frac{-9}{-1} = 9 > 0 $.
• Интервал $(-2; 1.5]$: возьмем $x=0$, получим $ \frac{2(0)-3}{0+2} = -\frac{3}{2} < 0 $.
• Интервал $[1.5; +\infty)$: возьмем $x=2$, получим $ \frac{2(2)-3}{2+2} = \frac{1}{4} > 0 $.

Нам нужны значения $x$, при которых выражение больше или равно нулю.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup [1.5; +\infty)$.