Номер 266, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 6. Неравенства с одной переменной. 16. Решение неравенств второй степени с одной переменной - номер 266, страница 91.

Условие.

266. Решите неравенство:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $2x^2 + 13x - 7 > 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 + 13x - 7 = 0$. Это точки, в которых парабола $y = 2x^2 + 13x - 7$ пересекает ось абсцисс.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 \pm 15}{4}$

$x_1 = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7$

$x_2 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Коэффициент при $x^2$ равен 2, что больше нуля, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $2x^2 + 13x - 7 > 0$ выполняется там, где график функции находится выше оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Таким образом, решение неравенства: $x < -7$ или $x > 0.5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (0.5; \infty)$.

б) $-9x^2 + 12x - 4 < 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$9x^2 - 12x + 4 > 0$

Заметим, что левая часть является полным квадратом разности: $(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = (3x - 2)^2$.

Неравенство принимает вид:

$(3x - 2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (т.е. $\ge 0$). Он равен нулю только в том случае, когда само выражение равно нулю. В нашем случае $(3x - 2)^2 = 0$ при $3x - 2 = 0$, то есть при $x = 2/3$.

Следовательно, неравенство $(3x - 2)^2 > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме $x = 2/3$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2/3) \cup (2/3; \infty)$.

в) $6x^2 - 13x + 5 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$.

Дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-13) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{13 \pm 7}{12}$

$x_1 = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$x_2 = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

Ветви параболы $y = 6x^2 - 13x + 5$ направлены вверх (т.к. $a=6 > 0$). Неравенство $\le 0$ выполняется на том промежутке, где график параболы находится ниже или на оси Ox. Это происходит между корнями, включая сами корни.

Решением является отрезок: $\frac{1}{2} \le x \le \frac{5}{3}$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$.

г) $-2x^2 - 5x + 18 \le 0$

Умножим неравенство на -1, чтобы коэффициент при $x^2$ стал положительным, и изменим знак неравенства:

$2x^2 + 5x - 18 \ge 0$

Найдем корни уравнения $2x^2 + 5x - 18 = 0$:

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-18) = 25 + 144 = 169$

$x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 2} = \frac{-5 \pm 13}{4}$

$x_1 = \frac{-5 - 13}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5$

$x_2 = \frac{-5 + 13}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Ветви параболы $y = 2x^2 + 5x - 18$ направлены вверх. Неравенство $\ge 0$ выполняется там, где график находится выше или на оси Ox, то есть вне интервала между корнями, включая сами корни.

Решение: $x \le -4.5$ или $x \ge 2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4.5] \cup [2; \infty)$.

д) $3x^2 - 2x > 0$

Это неполное квадратное неравенство. Разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(3x - 2) > 0$

Найдем корни, приравняв левую часть к нулю: $x(3x-2) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2/3$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 2x$ направлены вверх ($a=3 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется там, где парабола выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Решение: $x < 0$ или $x > \frac{2}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{2}{3}; \infty)$.

е) $8 - x^2 < 0$

Умножим неравенство на -1 и изменим знак:

$x^2 - 8 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$:

$x^2 = 8 \Rightarrow x = \pm\sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Корни: $x_1 = -2\sqrt{2}$ и $x_2 = 2\sqrt{2}$.

Ветви параболы $y = x^2 - 8$ направлены вверх ($a=1 > 0$). Неравенство $> 0$ выполняется там, где парабола выше оси Ox, то есть вне интервала между корнями.

Решение: $x < -2\sqrt{2}$ или $x > 2\sqrt{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2\sqrt{2}) \cup (2\sqrt{2}; \infty)$.