Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

258. Плот проплывает 60 км по течению реки на 5 ч быстрее, чем такое же расстояние проходит моторная лодка против течения. Найдите скорость лодки по течению, если её скорость в стоячей воде 10 км/ч.

Для решения задачи введем переменную и составим уравнение, исходя из условий.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Скорость плота, не имеющего собственного двигателя, равна скорости течения, то есть $v_{плота} = x$ км/ч. Время, которое потребуется плоту, чтобы проплыть 60 км по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, время движения плота составляет $t_{плота} = \frac{60}{x}$ часов.

Собственная скорость моторной лодки (скорость в стоячей воде) дана в условии и составляет 10 км/ч. Когда лодка движется против течения, ее скорость уменьшается на величину скорости течения. Следовательно, скорость лодки против течения равна $v_{лодки\;против} = 10 - x$ км/ч. Время, за которое лодка пройдет 60 км против течения, составляет $t_{лодки\;против} = \frac{60}{10 - x}$ часов.

Согласно условию, плот затрачивает на свой путь на 5 часов меньше, чем моторная лодка на свой. Это можно выразить следующим уравнением: $t_{лодки\;против} - t_{плота} = 5$ Подставим выражения для времени: $\frac{60}{10 - x} - \frac{60}{x} = 5$

Теперь решим это уравнение. Важно отметить область допустимых значений для переменной $x$: скорость течения $x$ должна быть положительной ($x > 0$), а также скорость лодки против течения должна быть положительной ($10 - x > 0$, что означает $x < 10$). Таким образом, $0 < x < 10$.

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(10 - x)$, чтобы избавиться от дробей: $60x - 60(10 - x) = 5x(10 - x)$ Раскроем скобки: $60x - 600 + 60x = 50x - 5x^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $120x - 600 = 50x - 5x^2$ $5x^2 + 120x - 50x - 600 = 0$ $5x^2 + 70x - 600 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 5: $x^2 + 14x - 120 = 0$

Найдем корни полученного квадратного уравнения. Можно использовать теорему Виета или формулу для вычисления корней через дискриминант. Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$ Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$. Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 26}{2 \cdot 1} = \frac{-40}{2} = -20$ $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 26}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6$

Корень $x_1 = -20$ является посторонним, так как скорость не может быть отрицательной величиной. Следовательно, скорость течения реки составляет $x = 6$ км/ч. Это значение удовлетворяет условию $0 < x < 10$.

В задаче требуется найти скорость лодки по течению. Скорость лодки по течению равна сумме ее собственной скорости и скорости течения: $v_{лодки\;по\;течению} = v_{собственная} + v_{течения} = 10 + x = 10 + 6 = 16$ км/ч.

Ответ: 16 км/ч.

259. Моторная лодка прошла по течению 70 км. За то же время она может пройти против течения 30 км. Найдите скорость течения, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч.

Для решения задачи обозначим искомую скорость течения реки через переменную.

Пусть $x$ км/ч – скорость течения реки.
Собственная скорость моторной лодки по условию задачи равна $10$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается со скоростью течения. Скорость лодки по течению равна $v_{по\ теч.} = (10 + x)$ км/ч.
Когда лодка движется против течения, скорость течения вычитается из ее собственной скорости. Скорость лодки против течения равна $v_{против\ теч.} = (10 - x)$ км/ч.

Время движения ($t$) вычисляется по формуле $t = S/v$, где $S$ – расстояние, а $v$ – скорость.

Время, которое лодка затратила на путь в $70$ км по течению, составляет:
$t_{1} = \frac{70}{10 + x}$ часов.

Время, которое лодка затратила на путь в $30$ км против течения, составляет:
$t_{2} = \frac{30}{10 - x}$ часов.

Согласно условию задачи, время, затраченное на путь по течению, равно времени, затраченному на путь против течения: $t_{1} = t_{2}$.
Составим уравнение, приравняв выражения для времени:
$\frac{70}{10 + x} = \frac{30}{10 - x}$

Решим это уравнение. Можно использовать основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$70 \cdot (10 - x) = 30 \cdot (10 + x)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$700 - 70x = 300 + 30x$

Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены — в другой:
$700 - 300 = 30x + 70x$
$400 = 100x$

Найдем $x$:
$x = \frac{400}{100}$
$x = 4$

Следовательно, скорость течения реки составляет $4$ км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

260. Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней выполнит заказ каждая швея, работая отдельно, если одной из них для этого потребуется на 5 дней больше, чем другой?

Это задача на совместную работу. Примем весь объем работы (весь заказ) за 1.

Пусть $x$ — количество дней, за которое первая (более быстрая) швея выполнит весь заказ, работая в одиночку. Тогда ее производительность (часть заказа, выполняемая за один день) равна $\frac{1}{x}$.

Из условия известно, что второй швее потребуется на 5 дней больше. Значит, она выполнит заказ за $x + 5$ дней. Ее производительность равна $\frac{1}{x+5}$.

Когда швеи работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5}$.

По условию, работая вместе, они выполняют заказ за 6 дней. Это означает, что их совместная производительность равна $\frac{1}{6}$ заказа в день.

Составим и решим уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+5} = \frac{1}{6}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x+5)$:

$\frac{x+5+x}{x(x+5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x+5}{x^2+5x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$6 \cdot (2x+5) = 1 \cdot (x^2+5x)$

$12x + 30 = x^2 + 5x$

Перенесем все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 5x - 12x - 30 = 0$

$x^2 - 7x - 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Количество дней не может быть отрицательным, поэтому корень $x_2 = -3$ не является решением задачи.

Следовательно, первой швее для выполнения заказа потребуется 10 дней.

Второй швее потребуется на 5 дней больше: $10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: одна швея выполнит заказ за 10 дней, а другая — за 15 дней.

261. Два слесаря выполнили задание за 12 ч. Если бы половину задания выполнил первый, а оставшуюся часть второй, то первому потребовалось бы времени на 5 ч больше, чем второму. За сколько часов каждый из них мог бы выполнить задание?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ — время в часах, за которое первый слесарь выполняет все задание самостоятельно, а $y$ — время в часах, за которое второй слесарь выполняет все задание самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первого слесаря составляет $\frac{1}{x}$ задания в час, а второго — $\frac{1}{y}$ задания в час.

1. Составление первого уравнения.

Из условия известно, что работая вместе, они выполняют задание за 12 часов. Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.

За 12 часов совместной работы они выполняют все задание (которое принимаем за 1). Отсюда получаем первое уравнение:

$12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, если бы первый слесарь выполнил половину задания, а второй — оставшуюся половину, то первому потребовалось бы на 5 часов больше.

Время, за которое первый слесарь выполнит половину задания (0.5), равно $t_1 = \frac{0.5}{1/x} = 0.5x$ часов.

Время, за которое второй слесарь выполнит вторую половину задания, равно $t_2 = \frac{0.5}{1/y} = 0.5y$ часов.

По условию $t_1 = t_2 + 5$. Отсюда получаем второе уравнение:

$0.5x = 0.5y + 5$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 12 \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1 \\ 0.5x = 0.5y + 5 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, умножив обе его части на 2:

$x = y + 10$

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$12 \left(\frac{1}{y+10} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $y(y+10)$:

$12 \left(\frac{y + (y+10)}{y(y+10)}\right) = 1$

$12 \cdot \frac{2y+10}{y^2+10y} = 1$

Умножим обе части на знаменатель $y^2+10y$ (при условии, что $y \neq 0$ и $y \neq -10$, что соответствует смыслу задачи):

$12(2y+10) = y^2+10y$

$24y + 120 = y^2 + 10y$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 10y - 24y - 120 = 0$

$y^2 - 14y - 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Воспользуемся формулой для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120) = 196 + 480 = 676$

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-(-14) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{14 + 26}{2} = \frac{40}{2} = 20$

$y_2 = \frac{-(-14) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{14 - 26}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку $y$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Значит, корень $y_2 = -6$ является посторонним. Таким образом, время, за которое второй слесарь выполнит все задание, составляет 20 часов.

Теперь найдем время для первого слесаря:

$x = y + 10 = 20 + 10 = 30$

Следовательно, время, за которое первый слесарь выполнит все задание, составляет 30 часов.

Ответ: первый слесарь мог бы выполнить задание за 30 часов, а второй — за 20 часов.

262. Сократите дробь:

а) $\frac{2ab + 2by + ay + y^2}{2ab - 2by + ay + y^2}$

Чтобы сократить данную дробь, необходимо разложить на множители ее числитель и знаменатель. В знаменателе, скорее всего, допущена опечатка, так как в текущем виде он не раскладывается на множители стандартными методами, что делает сокращение невозможным. Типичная задача такого рода предполагает, что знаменатель имеет вид $2ab - 2by + ay - y^2$. Примем это предположение и решим задачу.

1. Разложим на множители числитель, используя метод группировки:

$2ab + 2by + ay + y^2 = (2ab + 2by) + (ay + y^2) = 2b(a + y) + y(a + y) = (a + y)(2b + y)$

2. Разложим на множители предполагаемый (исправленный) знаменатель:

$2ab - 2by + ay - y^2 = (2ab - 2by) + (ay - y^2) = 2b(a - y) + y(a - y) = (a - y)(2b + y)$

3. Подставим разложенные выражения в дробь и выполним сокращение:

$\frac{(a + y)(2b + y)}{(a - y)(2b + y)} = \frac{a + y}{a - y}$

Сокращение выполнено при условии, что общий множитель $2b + y \neq 0$.

Ответ: $\frac{a + y}{a - y}$

б) $\frac{9x^2 + 6x + 4}{27x^3 - 8}$

Для сокращения этой дроби необходимо разложить знаменатель на множители. Заметим, что знаменатель является разностью кубов.

1. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ к знаменателю $27x^3 - 8$.

Здесь $a = 3x$ и $b = 2$.

$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$

2. Теперь подставим полученное разложение в исходную дробь:

$\frac{9x^2 + 6x + 4}{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}$

3. Числитель и один из множителей в знаменателе совпадают. Сократим дробь на общий множитель $(9x^2 + 6x + 4)$.

$\frac{\cancel{9x^2 + 6x + 4}}{(3x - 2)\cancel{(9x^2 + 6x + 4)}} = \frac{1}{3x - 2}$

Сокращение возможно, так как выражение $9x^2 + 6x + 4$ (неполный квадрат суммы) всегда положительно при любых действительных значениях $x$ и не равно нулю. Исходная дробь определена при $27x^3 - 8 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{2}{3}$, что совпадает с областью определения полученного выражения.

Ответ: $\frac{1}{3x - 2}$

263. В одной системе координат постройте графики функций y = x² и y = x + 6, с их помощью найдите решение уравнения

x² – x – 6 = 0.

Построение графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$

Для решения задачи необходимо в одной системе координат построить графики двух функций.

1. График функции $y=x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0, 0)$. Составим таблицу значений для построения:

2. График функции $y=x+6$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y=0+6=6$. Точка пересечения с осью Oy: $(0, 6)$.
• При $y=0$, $0=x+6$, откуда $x=-6$. Точка пересечения с осью Ox: $(-6, 0)$.

Построив параболу и прямую в одной системе координат, мы можем найти их точки пересечения.

Нахождение решения уравнения $x^2-x-6=0$ с помощью графиков

Чтобы найти решение уравнения $x^2-x-6=0$ графическим методом, преобразуем его:

$x^2-x-6=0 \implies x^2=x+6$

Решения (корни) этого уравнения являются абсциссами (координатами $x$) точек пересечения графиков функций $y=x^2$ и $y=x+6$.

На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Определим их координаты:

• Точка A: $(-2, 4)$
• Точка B: $(3, 9)$

Абсциссы этих точек, $x=-2$ и $x=3$, и являются решениями исходного уравнения.

Для проверки подставим найденные значения в уравнение $x^2-x-6=0$:

• Для $x = -2$: $(-2)^2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$.
• Для $x = 3$: $3^2 - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.

Оба значения являются верными корнями.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 3$.

1. Какое уравнение с одной переменной называется целым? Приведите пример.

Какое уравнение с одной переменной называется целым?

Уравнение с одной переменной называется целым, если обе его части (левая и правая) являются целыми выражениями. Целые выражения — это выражения, которые составлены из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля. Ключевой особенностью целых уравнений является то, что они не содержат деления на переменную.

Любое целое уравнение можно с помощью тождественных преобразований привести к виду $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен (полином).

Приведите пример.

Примерами целых уравнений являются:

• Линейное уравнение: $5x - 10 = 0$
• Квадратное уравнение: $3x^2 + 8x - 11 = 0$
• Кубическое уравнение: $x^3 - 6x^2 = 2x + 1$
• Уравнение, которое становится целым после преобразований: $(x+1)(x-2) = 4x$. После раскрытия скобок и переноса всех слагаемых в левую часть мы получим уравнение $x^2 - 5x - 2 = 0$, которое является целым.

Для сравнения, уравнение $\frac{x+3}{x-1} = 5$ не является целым, поскольку оно содержит деление на выражение с переменной ($x-1$). Такие уравнения называются дробно-рациональными.

Ответ: Целым уравнением с одной переменной называется уравнение, обе части которого являются целыми выражениями, то есть не содержат операции деления на переменную. Пример такого уравнения: $4x^2 - 7x + 1 = 0$.

2. Как найти степень целого уравнения?

Чтобы найти степень целого уравнения, необходимо определить наивысшую степень переменной в этом уравнении после того, как оно будет приведено к стандартному виду $P(x) = 0$. Процесс состоит из двух основных шагов.

Целое уравнение — это уравнение, которое можно представить в виде $P(x) = 0$, где $P(x)$ — многочлен. Стандартный вид многочлена от одной переменной $x$ выглядит так: $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$ где $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ — это числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a_n \neq 0$. Для приведения уравнения к этому виду необходимо:
1. Перенести все его члены в одну часть (обычно в левую), чтобы в другой части остался ноль.
2. Раскрыть все скобки.
3. Привести подобные слагаемые (то есть сложить или вычесть члены с одинаковыми степенями переменной).

Ответ: Для нахождения степени уравнение должно быть преобразовано к виду $P(x)=0$, где $P(x)$ — многочлен в стандартной форме (все скобки раскрыты и подобные слагаемые приведены).

Когда уравнение записано в стандартном виде $a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 = 0$, его степенью является наибольший показатель степени $n$, коэффициент при котором ($a_n$) не равен нулю.

Ответ: Степень уравнения — это значение наибольшего показателя степени переменной с ненулевым коэффициентом в его стандартной форме.

Пример А: Дано уравнение $5x^4 - 8x^3 + x - 11 = 0$.

Это уравнение уже представлено в стандартном виде. Переменная $x$ имеет степени $4$, $3$, $1$ и $0$ (так как $-11 = -11x^0$). Наибольшая из этих степеней — $4$.

Ответ: Степень данного уравнения равна 4.

Пример Б: Найти степень уравнения $(x^2 + 2)^2 - x^4 = 8x$.

1. Приводим уравнение к стандартному виду. Сначала переносим всё в левую часть:
$(x^2 + 2)^2 - x^4 - 8x = 0$
2. Теперь раскрываем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$( (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2 + 2^2 ) - x^4 - 8x = 0$
$(x^4 + 4x^2 + 4) - x^4 - 8x = 0$
3. Приводим подобные слагаемые:
$(x^4 - x^4) + 4x^2 - 8x + 4 = 0$
$0 \cdot x^4 + 4x^2 - 8x + 4 = 0$
$4x^2 - 8x + 4 = 0$
4. Уравнение приведено к стандартному виду. Наибольшая степень переменной $x$ с ненулевым коэффициентом равна $2$.

Ответ: Степень данного уравнения равна 2.

Примечание: Этот пример показывает, как важно упрощать выражение. Изначально могло показаться, что степень уравнения 4, но член с $x^4$ сократился.

3. Дайте определение биквадратного уравнения. Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Дайте определение биквадратного уравнения.

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $x$ — переменная, $a$, $b$ и $c$ — числовые коэффициенты, причём старший коэффициент $a \neq 0$.

Ключевая особенность такого уравнения заключается в том, что оно, будучи уравнением четвёртой степени, содержит неизвестное только в чётных степенях (четвёртой и второй). Это позволяет свести его к квадратному уравнению.

Ответ: Биквадратное уравнение — это уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a, b, c$ — коэффициенты и $a \neq 0$.

Объясните, как решают биквадратное уравнение.

Биквадратные уравнения решают методом введения новой переменной (или методом замены). Суть метода состоит в том, чтобы свести исходное уравнение к более простому — квадратному.

Алгоритм решения биквадратного уравнения:

1. Ввести новую переменную. В уравнении $ax^4 + bx^2 + c = 0$ делается замена $t = x^2$. Поскольку $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, исходное уравнение преобразуется к виду $at^2 + bt + c = 0$. Важно отметить, что $t$ не может быть отрицательным, так как $t = x^2 \ge 0$.
2. Решить полученное квадратное уравнение. Уравнение $at^2 + bt + c = 0$ решается относительно переменной $t$. Чаще всего для этого используется формула корней квадратного уравнения через дискриминант: $t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
3. Проанализировать корни для $t$.
   • Если квадратное уравнение для $t$ не имеет действительных корней (дискриминант $D < 0$), то и исходное биквадратное уравнение не имеет действительных корней.
   • Если корни $t_1$ и $t_2$ найдены, то для дальнейшего решения отбираются только неотрицательные значения, так как должно выполняться условие $t \ge 0$. Если все найденные корни $t$ отрицательны, биквадратное уравнение не имеет действительных решений.
4. Сделать обратную замену. Для каждого подходящего (неотрицательного) корня $t_k$ решается уравнение $x^2 = t_k$.
   • Если $t_k = 0$, то $x^2 = 0$, что даёт один корень $x=0$.
   • Если $t_k > 0$, то $x^2 = t_k$, что даёт два корня $x = \sqrt{t_k}$ и $x = -\sqrt{t_k}$.
5. Записать ответ. Все полученные значения $x$ являются корнями исходного биквадратного уравнения. Их может быть от нуля до четырёх.

Пример решения уравнения $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$:

1. Сделаем замену: пусть $t = x^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $t^2 - 5t + 4 = 0$.

2. Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 4$.

3. Оба корня положительные, поэтому они оба подходят.

4. Выполним обратную замену:

• Если $x^2 = 1$, то $x = \pm 1$.
• Если $x^2 = 4$, то $x = \pm 2$.

5. В результате получаем четыре корня: $-2, -1, 1, 2$.

Ответ: Для решения биквадратного уравнения $ax^4 + bx^2 + c = 0$ нужно выполнить замену $t = x^2$, решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ для $t$ и для каждого неотрицательного корня $t_k$ найти $x$ из уравнения $x^2 = t_k$.

4. Какое уравнение называется дробным рациональным? На примере уравнения $\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x-3}=\frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Какое уравнение называется дробным рациональным?

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, в котором левая и/или правая части являются дробно-рациональными выражениями. Другими словами, это уравнение, содержащее переменную (неизвестное) в знаменателе дроби. Общий вид такого уравнения после переноса всех членов в левую часть можно представить как $\frac{P(x)}{Q(x)} = 0$, где $P(x)$ и $Q(x)$ — многочлены, и многочлен $Q(x)$ содержит переменную.

Ответ: Дробное рациональное уравнение — это уравнение, которое содержит переменную в знаменателе дроби.

На примере уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ объясните, как решают дробные рациональные уравнения.

Решение дробных рациональных уравнений выполняется по следующему алгоритму:

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ). Необходимо найти все значения переменной, при которых знаменатели всех дробей в уравнении не равны нулю.

   Для нашего уравнения $\frac{4}{x-1} + \frac{1}{x-3} = \frac{x^2-7}{x^2-4x+3}$ найдем ОДЗ:

   • Знаменатель первой дроби: $x-1 \neq 0$, следовательно, $x \neq 1$.
   • Знаменатель второй дроби: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$.
   • Знаменатель третьей дроби: $x^2-4x+3 \neq 0$. Разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $x^2-4x+3=0$. По теореме Виета, корни $x_1=1$ и $x_2=3$. Таким образом, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$. Это условие не вводит новых ограничений.

   Итак, ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

2. Приведение всех дробей к общему знаменателю. Находим наименьший общий знаменатель для всех дробей в уравнении и приводим их к этому знаменателю.

   В нашем случае общий знаменатель — это $(x-1)(x-3)$, так как $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.

   $\frac{4(x-3)}{(x-1)(x-3)} + \frac{1(x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

3. Переход к целому уравнению. После приведения к общему знаменателю, мы можем отбросить знаменатель и приравнять числители. Это равносильный переход в рамках найденной ОДЗ.

   $\frac{4(x-3) + (x-1)}{(x-1)(x-3)} = \frac{x^2-7}{(x-1)(x-3)}$

   Приравниваем числители:

   $4(x-3) + (x-1) = x^2-7$

4. Решение полученного целого уравнения. Раскрываем скобки и решаем полученное, как правило, полиномиальное уравнение.

   $4x - 12 + x - 1 = x^2 - 7$

   $5x - 13 = x^2 - 7$

   Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

   $0 = x^2 - 5x - 7 + 13$

   $x^2 - 5x + 6 = 0$

   Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Отсюда находим корни:

   $x_1 = 2$, $x_2 = 3$

5. Проверка корней. Необходимо проверить, соответствуют ли найденные корни ОДЗ. Корни, которые не входят в ОДЗ, являются посторонними и отбрасываются.
   • Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $2 \neq 1$ и $2 \neq 3$.
   • Корень $x_2 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 3$. Следовательно, $x=3$ — посторонний корень.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: $x=2$.