Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

283. Решите уравнение:

а) y⁴ – 24y² – 25 = 0;

б) x⁴ – 9x² + 18 = 0.

а) $y^4 - 24y^2 - 25 = 0$

Это биквадратное уравнение. Для его решения введем новую переменную. Пусть $t = y^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Заменив $y^2$ на $t$ и $y^4$ на $t^2$, получим квадратное уравнение относительно $t$:

$t^2 - 24t - 25 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$t_1 = \frac{-(-24) + 26}{2 \cdot 1} = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{-(-24) - 26}{2 \cdot 1} = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные значения $t$ условию $t \ge 0$.

Корень $t_1 = 25$ удовлетворяет этому условию.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), следовательно, он является посторонним корнем для нашей замены.

Выполним обратную замену для подходящего корня $t_1 = 25$:

$y^2 = 25$

Из этого уравнения находим два значения $y$:

$y_1 = \sqrt{25} = 5$

$y_2 = -\sqrt{25} = -5$

Ответ: $-5; 5$.

б) $x^4 - 9x^2 + 18 = 0$

Это также биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $z = x^2$, при этом $z \ge 0$.

После замены уравнение примет вид квадратного уравнения:

$z^2 - 9z + 18 = 0$

Решим его. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение — свободному члену. То есть:

$z_1 + z_2 = 9$

$z_1 \cdot z_2 = 18$

Подбором находим корни: $z_1 = 6$ и $z_2 = 3$.

В качестве альтернативы решим через дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$

$\sqrt{D} = \sqrt{9} = 3$

$z_1 = \frac{9 + 3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$z_2 = \frac{9 - 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Оба корня, $z_1 = 6$ и $z_2 = 3$, положительны и удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Выполним обратную замену для каждого из найденных корней $z$.

1. Для $z_1 = 6$:

$x^2 = 6$

$x_{1,2} = \pm\sqrt{6}$

2. Для $z_2 = 3$:

$x^2 = 3$

$x_{3,4} = \pm\sqrt{3}$

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня.

Ответ: $-\sqrt{6}; -\sqrt{3}; \sqrt{3}; \sqrt{6}$.

284. Слиток массой 3 кг, содержащий 80% олова и 20% свинца, сплавили с куском олова, после чего процентное содержание олова в слитке составило 94%. Сколько олова добавили в слиток?

Для решения задачи определим сначала массу олова в исходном слитке. Общая масса слитка составляет 3 кг, а содержание олова в нем — 80%.

Масса олова в исходном слитке: $m_{олова\_нач} = 3 \text{ кг} \times 0.80 = 2.4 \text{ кг}$.

Пусть $x$ — это масса чистого олова (в кг), которую добавили в сплав. После добавления олова, общая масса нового слитка станет $(3 + x)$ кг.

Общая масса олова в новом слитке будет состоять из первоначальной массы олова и добавленной массы $x$. Таким образом, масса олова в новом слитке составит $(2.4 + x)$ кг.

По условию, процентное содержание олова в новом слитке составило 94%. Это означает, что отношение массы всего олова в новом слитке к общей массе нового слитка равно 0.94. На основании этого составим уравнение:

$\frac{\text{масса олова в новом слитке}}{\text{общая масса нового слитка}} = 0.94$

Подставив выражения для масс, получим:

$\frac{2.4 + x}{3 + x} = 0.94$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Умножим обе части уравнения на $(3 + x)$:

$2.4 + x = 0.94 \times (3 + x)$

Раскроем скобки в правой части:

$2.4 + x = 0.94 \times 3 + 0.94x$

$2.4 + x = 2.82 + 0.94x$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в левой части уравнения, а числовые значения — в правой:

$x - 0.94x = 2.82 - 2.4$

$0.06x = 0.42$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 0.06:

$x = \frac{0.42}{0.06}$

$x = 7$

Следовательно, в слиток добавили 7 кг олова.

Ответ: 7 кг.