Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

264. Решите неравенство:

а) $x^2 + 2x - 48 < 0$
Для решения квадратного неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 2x - 48 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6$
Графиком функции $y = x^2 + 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=-8$ и $x=6$.
Неравенство имеет вид $f(x) < 0$, что соответствует промежуткам, где парабола находится ниже оси Ox. Это происходит между корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(-8; 6)$.
Ответ: $x \in (-8; 6)$.

б) $2x^2 - 7x + 6 > 0$
Найдем корни уравнения $2x^2 - 7x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$
$x_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Ветви параболы $y = 2x^2 - 7x + 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x=1.5$ и $x=2$.
Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на тех промежутках, где парабола находится выше оси Ox. Это происходит левее меньшего корня и правее большего корня.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (2; \infty)$.

в) $-x^2 + 2x + 15 > 0$
Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 15 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 15 = 0$.
Дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{2 - 8}{2} = -3$
$x_2 = \frac{2 + 8}{2} = 5$
Ветви параболы $y = -x^2 + 2x + 15$ направлены вниз ($a=-1 < 0$). Неравенство $f(x) > 0$ выполняется на промежутке, где парабола находится выше оси Ox, то есть между корнями.
Ответ: $x \in (-3; 5)$.

г) $-5x^2 + 11x - 6 > 0$
Умножим неравенство на -1 и сменим знак: $5x^2 - 11x + 6 < 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 11x + 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 6 = 121 - 120 = 1$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{11 - 1}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{11 + 1}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1.2$
Ветви исходной параболы $y = -5x^2 + 11x - 6$ направлены вниз ($a=-5 < 0$). Неравенство $f(x) > 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in (1; 1.2)$.

д) $4x^2 - 12x + 9 > 0$
Левая часть неравенства является полным квадратом: $(2x - 3)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(2x - 3)^2$ равно нулю при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = 1.5$.
Во всех остальных случаях $(2x - 3)^2$ строго больше нуля.
Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = 1.5$.
Ответ: $x \in (-\infty; 1.5) \cup (1.5; \infty)$.

е) $25x^2 + 30x + 9 < 0$
Свернем левую часть по формуле квадрата суммы: $(5x + 3)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(5x + 3)^2 \geq 0$.
Неравенство $(5x + 3)^2 < 0$ не может выполняться ни при каком значении $x$.
Ответ: Нет решений.

ж) $-10x^2 + 9x > 0$
Найдем корни уравнения $-10x^2 + 9x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-10x + 9) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-10x + 9 = 0 \implies 10x = 9 \implies x_2 = 0.9$.
Ветви параболы $y = -10x^2 + 9x$ направлены вниз ($a=-10 < 0$). Неравенство $f(x) > 0$ выполняется между корнями.
Ответ: $x \in (0; 0.9)$.

з) $-2x^2 + 7x < 0$
Найдем корни уравнения $-2x^2 + 7x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(-2x + 7) = 0$.
Корни: $x_1 = 0$ и $-2x + 7 = 0 \implies 2x = 7 \implies x_2 = 3.5$.
Ветви параболы $y = -2x^2 + 7x$ направлены вниз ($a=-2 < 0$). Неравенство $f(x) < 0$ выполняется на промежутках, где парабола находится ниже оси Ox, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.
Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (3.5; \infty)$.