Номер 250, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

15. Решение задач с помощью уравнений. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 250, страница 86.

Условие.

250. Знаменатель обыкновенной дроби на 6 больше её числителя. Если из числителя вычесть 2, а к знаменателю прибавить 2, то дробь уменьшится на $\frac{1}{6}$. Найдите эту дробь.

Решение 1.

Решение 8.

Пусть числитель исходной дроби равен $x$. Согласно условию, знаменатель на 6 больше числителя, следовательно, знаменатель равен $x + 6$.Таким образом, исходная дробь имеет вид: $\frac{x}{x+6}$.

Если из числителя вычесть 2, то новый числитель станет $x - 2$.Если к знаменателю прибавить 2, то новый знаменатель станет $(x + 6) + 2 = x + 8$.Новая дробь будет равна $\frac{x-2}{x+8}$.

По условию, новая дробь на $\frac{1}{6}$ меньше исходной. Составим уравнение, которое отражает эту зависимость:$\frac{x}{x+6} - \frac{x-2}{x+8} = \frac{1}{6}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x+6)(x+8)$:$\frac{x(x+8) - (x-2)(x+6)}{(x+6)(x+8)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе и знаменателе левой части:$\frac{(x^2 + 8x) - (x^2 + 6x - 2x - 12)}{x^2 + 8x + 6x + 48} = \frac{1}{6}$

Упростим выражение в числителе:$\frac{x^2 + 8x - x^2 - 4x + 12}{x^2 + 14x + 48} = \frac{1}{6}$$\frac{4x + 12}{x^2 + 14x + 48} = \frac{1}{6}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей:$6(4x + 12) = 1(x^2 + 14x + 48)$$24x + 72 = x^2 + 14x + 48$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:$x^2 + 14x - 24x + 48 - 72 = 0$$x^2 - 10x - 24 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 100 + 96 = 196$

Найдем корни уравнения:$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + \sqrt{196}}{2} = \frac{10 + 14}{2} = \frac{24}{2} = 12$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - \sqrt{196}}{2} = \frac{10 - 14}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Получили два возможных значения для числителя. Найдем соответствующие дроби:

1. Если числитель $x = 12$, то знаменатель равен $x + 6 = 12 + 6 = 18$. Исходная дробь — $\frac{12}{18}$.
Проверка: новая дробь $\frac{12-2}{18+2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$. Разность: $\frac{12}{18} - \frac{10}{20} = \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4-3}{6} = \frac{1}{6}$. Условие выполняется.

2. Если числитель $x = -2$, то знаменатель равен $x + 6 = -2 + 6 = 4$. Исходная дробь — $\frac{-2}{4}$.
Проверка: новая дробь $\frac{-2-2}{4+2} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$. Разность: $\frac{-2}{4} - (-\frac{4}{6}) = -\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{-3+4}{6} = \frac{1}{6}$. Условие также выполняется.

Оба решения математически верны. Однако в школьных задачах под "обыкновенной дробью" часто подразумевают дробь с натуральными числителем и знаменателем, поэтому наиболее вероятным ответом является первый вариант.

Ответ: $\frac{12}{18}$