Номер 243, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

14. Дробные рациональные уравнения. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 243, страница 84.

Условие.

243. Найдите корни уравнения:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Дано уравнение: $(\frac{x+2}{x-4})^2 + 16(\frac{x-4}{x+2})^2 = 17$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями $x-4 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, откуда $x \neq 4$ и $x \neq -2$.

Заметим, что дроби $\frac{x+2}{x-4}$ и $\frac{x-4}{x+2}$ являются взаимно обратными. Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+2}{x-4}$. Тогда $\frac{x-4}{x+2} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в исходное уравнение:

$t^2 + 16 \cdot (\frac{1}{t})^2 = 17$

$t^2 + \frac{16}{t^2} = 17$

Умножим обе части уравнения на $t^2$ (при условии $t \neq 0$, что выполняется, т.к. иначе второе слагаемое не определено):

$t^4 + 16 = 17t^2$

$t^4 - 17t^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем еще одну замену: $z = t^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - 17z + 16 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 17, а произведение равно 16. Корни легко находятся: $z_1 = 1$ и $z_2 = 16$. Оба корня удовлетворяют условию $z \ge 0$.

Вернемся к переменной $t$:

1) $t^2 = 1 \implies t = \pm 1$

2) $t^2 = 16 \implies t = \pm 4$

Теперь вернемся к исходной переменной $x$ для каждого из четырех найденных значений $t$.

Случай 1: $t=1$.

$\frac{x+2}{x-4} = 1 \implies x+2 = x-4 \implies 2 = -4$. Решений нет.

Случай 2: $t=-1$.

$\frac{x+2}{x-4} = -1 \implies x+2 = -(x-4) \implies x+2 = -x+4 \implies 2x=2 \implies x=1$.

Случай 3: $t=4$.

$\frac{x+2}{x-4} = 4 \implies x+2 = 4(x-4) \implies x+2 = 4x-16 \implies 3x=18 \implies x=6$.

Случай 4: $t=-4$.

$\frac{x+2}{x-4} = -4 \implies x+2 = -4(x-4) \implies x+2 = -4x+16 \implies 5x=14 \implies x=\frac{14}{5}$.

Все найденные корни $1, 6, \frac{14}{5}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $1; 6; \frac{14}{5}$.

б) Дано уравнение: $(\frac{x+1}{x-3})^2 + 18(\frac{x-3}{x+1})^2 = 11$.

ОДЗ: $x-3 \neq 0$ и $x+1 \neq 0$, откуда $x \neq 3$ и $x \neq -1$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \frac{x+1}{x-3}$. Тогда $\frac{x-3}{x+1} = \frac{1}{t}$.

Подставим замену в уравнение:

$t^2 + 18 \cdot \frac{1}{t^2} = 11$

$t^2 + \frac{18}{t^2} = 11$

Умножим обе части на $t^2$ (при $t \neq 0$):

$t^4 + 18 = 11t^2$

$t^4 - 11t^2 + 18 = 0$

Сделаем замену $z=t^2$, где $z \ge 0$.

$z^2 - 11z + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, $z_1+z_2=11$ и $z_1 \cdot z_2=18$. Отсюда $z_1=2$ и $z_2=9$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $t$:

1) $t^2 = 2 \implies t = \pm\sqrt{2}$

2) $t^2 = 9 \implies t = \pm 3$

Вернемся к переменной $x$ для каждого значения $t$.

Случай 1: $t=3$.

$\frac{x+1}{x-3} = 3 \implies x+1 = 3(x-3) \implies x+1 = 3x-9 \implies 2x=10 \implies x=5$.

Случай 2: $t=-3$.

$\frac{x+1}{x-3} = -3 \implies x+1 = -3(x-3) \implies x+1 = -3x+9 \implies 4x=8 \implies x=2$.

Случай 3: $t=\sqrt{2}$.

$\frac{x+1}{x-3} = \sqrt{2} \implies x+1 = \sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = x\sqrt{2} - 3\sqrt{2} \implies x\sqrt{2}-x = 1+3\sqrt{2} \implies x(\sqrt{2}-1) = 1+3\sqrt{2}$.

$x = \frac{1+3\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} = \frac{(1+3\sqrt{2})(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{2}+1+3\cdot 2+3\sqrt{2}}{2-1} = 7+4\sqrt{2}$.

Случай 4: $t=-\sqrt{2}$.

$\frac{x+1}{x-3} = -\sqrt{2} \implies x+1 = -\sqrt{2}(x-3) \implies x+1 = -x\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \implies x+x\sqrt{2} = 3\sqrt{2}-1 \implies x(1+\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}-1$.

$x = \frac{3\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(3\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{3\cdot 2-3\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}{2-1} = 7-4\sqrt{2}$.

Все найденные корни $2, 5, 7+4\sqrt{2}, 7-4\sqrt{2}$ удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $2; 5; 7 \pm 4\sqrt{2}$.