Номер 237, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. 14. Дробные рациональные уравнения - номер 237, страница 83.

Условие.

237. При каких значениях a:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы найти значения $a$, при которых сумма дробей $\frac{a+1}{a-2}$ и $\frac{a-4}{a+1}$ равна дроби $\frac{3a+3}{a^2-a-2}$, составим и решим уравнение:

$\frac{a+1}{a-2} + \frac{a-4}{a+1} = \frac{3a+3}{a^2-a-2}$

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны равняться нулю:

$a-2 \ne 0 \implies a \ne 2$

$a+1 \ne 0 \implies a \ne -1$

Знаменатель правой части $a^2-a-2$ можно разложить на множители как $(a-2)(a+1)$, что дает те же ограничения. Таким образом, ОДЗ: $a \ne 2$ и $a \ne -1$.

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-2)(a+1)$:

$\frac{(a+1)(a+1)}{(a-2)(a+1)} + \frac{(a-4)(a-2)}{(a-2)(a+1)} = \frac{3a+3}{(a-2)(a+1)}$

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители (в пределах ОДЗ):

$(a+1)^2 + (a-4)(a-2) = 3a+3$

Раскроем скобки и упростим:

$(a^2+2a+1) + (a^2-2a-4a+8) = 3a+3$

$a^2+2a+1 + a^2-6a+8 = 3a+3$

$2a^2-4a+9 = 3a+3$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2a^2 - 4a - 3a + 9 - 3 = 0$

$2a^2 - 7a + 6 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{7+1}{4} = \frac{8}{4} = 2$

$a_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{7-1}{4} = \frac{6}{4} = 1.5$

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $a_1=2$ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $a_2=1.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a=1.5$

б) Чтобы найти значения $a$, при которых разность дробей $\frac{3a-5}{a^2-1}$ и $\frac{6a-5}{a-a^2}$ равна дроби $\frac{3a+2}{a^2+a}$, составим и решим уравнение:

$\frac{3a-5}{a^2-1} - \frac{6a-5}{a-a^2} = \frac{3a+2}{a^2+a}$

Разложим знаменатели на множители для нахождения ОДЗ и общего знаменателя:

$a^2-1 = (a-1)(a+1)$

$a-a^2 = a(1-a) = -a(a-1)$

$a^2+a = a(a+1)$

ОДЗ: $a \ne 0$, $a \ne 1$, $a \ne -1$.

Перепишем уравнение с разложенными знаменателями, изменив знак у второй дроби:

$\frac{3a-5}{(a-1)(a+1)} + \frac{6a-5}{a(a-1)} = \frac{3a+2}{a(a+1)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $a(a-1)(a+1)$, чтобы избавиться от дробей:

$a(3a-5) + (a+1)(6a-5) = (a-1)(3a+2)$

Раскроем скобки:

$3a^2 - 5a + 6a^2 - 5a + 6a - 5 = 3a^2 + 2a - 3a - 2$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$9a^2 - 4a - 5 = 3a^2 - a - 2$

Перенесем все члены в левую часть:

$9a^2 - 3a^2 - 4a + a - 5 + 2 = 0$

$6a^2 - 3a - 3 = 0$

Разделим уравнение на 3 для упрощения:

$2a^2 - a - 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.

Корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} = \frac{1+3}{4} = \frac{4}{4} = 1$

$a_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} = \frac{1-3}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($a \ne 0, a \ne 1, a \ne -1$). Корень $a_1=1$ не входит в ОДЗ. Корень $a_2=-0.5$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $a=-0.5$