Номер 228, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 228, страница 78.

Условие.

228. Решите уравнение:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $x^5 + x^4 - 6x^3 - 6x^2 + 5x + 5 = 0$

Сгруппируем слагаемые, чтобы вынести за скобки общие множители:

$(x^5 + x^4) - (6x^3 + 6x^2) + (5x + 5) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x + 1) - 6x^2(x + 1) + 5(x + 1) = 0$

Теперь вынесем за скобку общий множитель $(x + 1)$:

$(x + 1)(x^4 - 6x^2 + 5) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x + 1 = 0 \implies x_1 = -1$

2) $x^4 - 6x^2 + 5 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 6y + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 1$ и $y_2 = 5$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.

Вернемся к замене:

При $y = 1$: $x^2 = 1 \implies x_2 = 1, x_3 = -1$.

При $y = 5$: $x^2 = 5 \implies x_4 = \sqrt{5}, x_5 = -\sqrt{5}$.

Объединив все найденные корни, получим множество решений.

Ответ: $x \in \{- \sqrt{5}, -1, 1, \sqrt{5}\}$

б) $x^5 - x^4 - 2x^3 + 2x^2 - 3x + 3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(x^5 - x^4) - (2x^3 - 2x^2) - (3x - 3) = 0$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^4(x - 1) - 2x^2(x - 1) - 3(x - 1) = 0$

Вынесем за скобку общий множитель $(x - 1)$:

$(x - 1)(x^4 - 2x^2 - 3) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$

2) $x^4 - 2x^2 - 3 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $y = x^2$, где $y \ge 0$. Уравнение примет вид:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета корни $y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому он является посторонним.

Вернемся к замене с единственным подходящим корнем $y = 3$:

$x^2 = 3 \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$.

Объединив все найденные действительные корни, получим множество решений.

Ответ: $x \in \{-\sqrt{3}, 1, \sqrt{3}\}$