Номер 225, страница 78 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

13. Целое уравнение и его корни. Параграф 5. Уравнения с одной переменной. Глава 3. Уравнения и неравенства с одной переменной - номер 225, страница 78.

Условие.

225. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = x^4 - 5x^2 + 4$

1. Пересечение с осью ординат (осью $Oy$):

Для нахождения точки пересечения с осью $Oy$, необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 0^4 - 5 \cdot 0^2 + 4 = 4$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 4)$.

2. Пересечение с осью абсцисс (осью $Ox$):

Для нахождения точек пересечения с осью $Ox$, необходимо подставить $y=0$ в уравнение функции:

$x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной: пусть $t = x^2$, при этом $t \ge 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а произведение равно 4. Следовательно, корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$. Оба корня удовлетворяют условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену:

Если $t=1$, то $x^2 = 1$, откуда $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$.

Если $t=4$, то $x^2 = 4$, откуда $x_3 = -2$ и $x_4 = 2$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 4)$; с осью $Ox$: $(-2; 0)$, $(-1; 0)$, $(1; 0)$, $(2; 0)$.

б) $y = x^4 + 3x^2 - 10$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$ в уравнение:

$y = 0^4 + 3 \cdot 0^2 - 10 = -10$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; -10)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$ в уравнение:

$x^4 + 3x^2 - 10 = 0$.

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$t^2 + 3t - 10 = 0$.

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$.

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}$.

$t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$.

$t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$.

Корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Выполним обратную замену для $t_1=2$: $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; -10)$; с осью $Ox$: $(-\sqrt{2}; 0)$, $(\sqrt{2}; 0)$.

в) $y = x^4 - 20x^2 + 100$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$:

$y = 0^4 - 20 \cdot 0^2 + 100 = 100$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 100)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$:

$x^4 - 20x^2 + 100 = 0$.

Заметим, что левая часть уравнения является формулой квадрата разности:

$(x^2 - 10)^2 = 0$.

$x^2 - 10 = 0$.

$x^2 = 10 \implies x = \pm \sqrt{10}$.

Координаты точек пересечения с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

Ответ: с осью $Oy$: $(0; 100)$; с осью $Ox$: $(-\sqrt{10}; 0)$, $(\sqrt{10}; 0)$.

г) $y = 4x^4 + 16x^2$

1. Пересечение с осью $Oy$:

Подставим $x=0$:

$y = 4 \cdot 0^4 + 16 \cdot 0^2 = 0$.

Координаты точки пересечения с осью $Oy$: $(0; 0)$.

2. Пересечение с осью $Ox$:

Подставим $y=0$:

$4x^4 + 16x^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $4x^2$ за скобки:

$4x^2(x^2 + 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$4x^2 = 0 \implies x = 0$.

или

$x^2 + 4 = 0 \implies x^2 = -4$. Данное уравнение не имеет действительных корней.

Таким образом, единственная точка пересечения с осью $Ox$ — это $(0; 0)$.

Эта точка является точкой пересечения графика как с осью $Ox$, так и с осью $Oy$.

Ответ: точка пересечения с осями координат: $(0; 0)$.