Номер 200, страница 70 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

200. При каких значениях c график функции y = x² – 6x + c расположен выше прямой:

а) y = 4;

б) y = –1?

Чтобы график функции $y = x^2 - 6x + c$ был расположен выше некоторой горизонтальной прямой, необходимо, чтобы наименьшее значение этой функции было больше, чем значение $y$ на этой прямой.

Функция $y = x^2 - 6x + c$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1$). Следовательно, наименьшее значение функции достигается в ее вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$.

Координата $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a = 1$, $b = -6$:

$x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$

Теперь найдем координату $y_0$, подставив значение $x_0 = 3$ в уравнение функции. Это и будет наименьшее значение функции.

$y_0 = (3)^2 - 6(3) + c = 9 - 18 + c = c - 9$

Теперь мы можем использовать это значение для решения подпунктов задачи.

а)

График функции должен быть расположен выше прямой $y = 4$. Это означает, что наименьшее значение функции должно быть строго больше 4.

$y_0 > 4$

Подставим найденное выражение для $y_0$:

$c - 9 > 4$

Решим неравенство относительно $c$:

$c > 4 + 9$

$c > 13$

Ответ: $c > 13$

б)

График функции должен быть расположен выше прямой $y = -1$. Это означает, что наименьшее значение функции должно быть строго больше -1.

$y_0 > -1$

Подставим найденное выражение для $y_0$:

$c - 9 > -1$

Решим неравенство относительно $c$:

$c > -1 + 9$

$c > 8$

Ответ: $c > 8$