Номер 187, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 187, страница 68.

Условие.

187. Докажите, что:

а) произведение двух чётных функций является чётной функцией;

б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная;

в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

Решение 1.

Решение 8.

Для доказательства данных утверждений воспользуемся определениями чётной и нечётной функций.
Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Область определения чётных и нечётных функций должна быть симметрична относительно нуля.

а) произведение двух чётных функций является чётной функцией;

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две чётные функции. Согласно определению, для них выполняются равенства: $f(-x) = f(x)$
$g(-x) = g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Чтобы проверить её на чётность, найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства чётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = f(x) \cdot g(x)$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является чётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение двух чётных функций является чётной функцией.

б) произведение двух нечётных функций есть функция чётная;

Пусть $f(x)$ и $g(x)$ — две нечётные функции. Согласно определению, для них выполняются равенства:
$f(-x) = -f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства нечётности функций $f(x)$ и $g(x)$:
$h(-x) = (-f(x)) \cdot (-g(x)) = (-1) \cdot f(x) \cdot (-1) \cdot g(x) = (-1)(-1) \cdot (f(x) \cdot g(x)) = f(x) \cdot g(x)$
Поскольку $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является чётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение двух нечётных функций есть функция чётная.

в) произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.

Пусть $f(x)$ — чётная функция, а $g(x)$ — нечётная. Это означает, что:
$f(-x) = f(x)$
$g(-x) = -g(x)$
Рассмотрим их произведение, функцию $h(x) = f(x) \cdot g(x)$. Найдём значение $h(-x)$:
$h(-x) = f(-x) \cdot g(-x)$
Подставим в это выражение свойства данных функций:
$h(-x) = f(x) \cdot (-g(x)) = -(f(x) \cdot g(x))$
Так как $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, мы получили, что $h(-x) = -h(x)$. Это означает, что функция $h(x)$ является нечётной, что и требовалось доказать.
Ответ: доказано, что произведение чётной и нечётной функций есть функция нечётная.