Номер 186, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 186, страница 68.

Условие.

186. Докажите, что:

а) сумма двух чётных функций есть функция чётная;

б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

Решение 1.

Решение 8.

а) сумма двух чётных функций есть функция чётная;

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением чётной функции. Функция $y=f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также её область определения должна быть симметрична относительно начала координат.

Пусть у нас есть две чётные функции, $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = f(x)$

$g(-x) = g(x)$

Пусть их области определения — $D_f$ и $D_g$ соответственно, обе симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их сумму — функцию $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$ есть пересечение областей определения функций $f(x)$ и $g(x)$, то есть $D_h = D_f \cap D_g$. Так как $D_f$ и $D_g$ симметричны, их пересечение $D_h$ также будет симметричным множеством.

Теперь проверим, выполняется ли для функции $h(x)$ условие чётности. Для этого найдём $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ являются чётными, мы можем заменить $f(-x)$ на $f(x)$ и $g(-x)$ на $g(x)$:

$h(-x) = f(x) + g(x)$

Правая часть этого выражения по определению равна $h(x)$. Следовательно, мы получаем:

$h(-x) = h(x)$

Так как область определения $h(x)$ симметрична и выполняется равенство $h(-x) = h(x)$, функция $h(x)$ является чётной. Таким образом, сумма двух чётных функций есть функция чётная.

Ответ: Утверждение доказано.

б) сумма двух нечётных функций — функция нечётная.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением нечётной функции. Функция $y=f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Её область определения также должна быть симметрична относительно начала координат.

Пусть у нас есть две нечётные функции, $f(x)$ и $g(x)$. Это означает, что для них выполняются следующие условия:

$f(-x) = -f(x)$

$g(-x) = -g(x)$

Пусть их области определения — $D_f$ и $D_g$ соответственно, обе симметричны относительно нуля.

Рассмотрим их сумму — функцию $h(x) = f(x) + g(x)$. Область определения функции $h(x)$, как и в предыдущем пункте, $D_h = D_f \cap D_g$, является симметричным множеством.

Теперь проверим, выполняется ли для функции $h(x)$ условие нечётности. Для этого найдём $h(-x)$:

$h(-x) = f(-x) + g(-x)$

Поскольку функции $f(x)$ и $g(x)$ являются нечётными, мы можем заменить $f(-x)$ на $-f(x)$ и $g(-x)$ на $-g(x)$:

$h(-x) = (-f(x)) + (-g(x))$

Вынесем знак минус за скобки:

$h(-x) = -(f(x) + g(x))$

Выражение в скобках по определению равно $h(x)$. Следовательно, мы получаем:

$h(-x) = -h(x)$

Так как область определения $h(x)$ симметрична и выполняется равенство $h(-x) = -h(x)$, функция $h(x)$ является нечётной. Таким образом, сумма двух нечётных функций есть функция нечётная.

Ответ: Утверждение доказано.