Номер 188, страница 68 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 2. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 188, страница 68.

Условие.

188. Задайте уравнением функцию y = f (x), график которой представлен на рисунке 40, и опишите её свойства.

Решение 1.

Решение 8.

a) На графике изображена функция, график которой имеет V-образную форму, что характерно для функции модуля. Вершина стандартного графика $y=|x|$ находится в точке $(0,0)$. На данном рисунке вершина находится в точке $(-2,0)$. Это означает, что график был смещен на 2 единицы влево по оси $Ox$. Угловые коэффициенты ветвей равны $1$ и $-1$. Таким образом, уравнение функции: $y = |x + 2|$.

Свойства функции $y = |x + 2|$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [0; +\infty)$.
3. Нуль функции: $x = -2$.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.
5. Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная).
6. Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$.
7. Экстремумы: точка минимума $(-2, 0)$.

Ответ: Уравнение функции $y = |x + 2|$.

б) График функции является гиперболой. Стандартная гипербола $y = k/x$ имеет асимптоты $x=0$ и $y=0$. На данном графике мы видим, что вертикальная асимптота смещена вправо и является прямой $x=1$, а горизонтальная асимптота осталась прежней, $y=0$. Это указывает на сдвиг графика на 1 единицу вправо. Уравнение функции принимает вид $y = \frac{k}{x - 1}$. Чтобы найти коэффициент $k$, воспользуемся одной из точек на графике, например, $(2, 1)$. Подставляем ее координаты в уравнение: $1 = \frac{k}{2 - 1}$, откуда получаем $k = 1$. Таким образом, искомое уравнение: $y = \frac{1}{x-1}$.

Свойства функции $y = \frac{1}{x-1}$:
1. Область определения: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Нули функции: отсутствуют.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1)$.
5. Четность: функция общего вида.
6. Монотонность: функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 1)$ и $(1; +\infty)$.
7. Экстремумы: отсутствуют.
8. Асимптоты: вертикальная $x=1$, горизонтальная $y=0$.

Ответ: Уравнение функции $y = \frac{1}{x-1}$.

в) График представляет собой ветвь параболы, что характерно для функции квадратного корня. Стандартный график $y=\sqrt{x}$ начинается в точке $(0,0)$. Данный график начинается в точке $(0,1)$, что соответствует сдвигу стандартного графика на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = a\sqrt{x} + 1$. Для нахождения коэффициента $a$ подставим координаты точки $(1, 2)$, лежащей на графике: $2 = a\sqrt{1} + 1$, откуда $a=1$. Итак, искомое уравнение: $y = \sqrt{x} + 1$.

Свойства функции $y = \sqrt{x} + 1$:
1. Область определения: $D(f) = [0; +\infty)$.
2. Область значений: $E(f) = [1; +\infty)$.
3. Нули функции: отсутствуют.
4. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
5. Четность: функция общего вида.
6. Монотонность: функция возрастает на всей области определения $[0; +\infty)$.
7. Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимального значения $y_{min} = 1$. Точка $(0,1)$ является точкой минимума.

Ответ: Уравнение функции $y = \sqrt{x} + 1$.