Страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

172. Постройте график функции y=$\frac{3x-2}{x-2}$. Найдите нули функции и промежутки знакопостоянства.

Данная задача состоит из трёх частей: построение графика, нахождение нулей функции и определение промежутков знакопостоянства. Решим каждую часть последовательно.

Исходная функция — это дробно-рациональная функция. Её графиком является гипербола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив целую часть.

$y = \frac{3x - 2}{x - 2} = \frac{3x - 6 + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2) + 4}{x - 2} = \frac{3(x - 2)}{x - 2} + \frac{4}{x - 2} = 3 + \frac{4}{x - 2}$

Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{4}{x - 2} + 3$. Её график получается из графика базовой гиперболы $y = \frac{4}{x}$ с помощью сдвигов: на 2 единицы вправо по оси Ox и на 3 единицы вверх по оси Oy.

1. Область определения функции.
Знаменатель не может быть равен нулю: $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.
$D(y) = (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
Горизонтальная асимптота: прямая $y = 3$.

3. Точки пересечения с осями координат.
С осью Oy (при $x=0$): $y(0) = \frac{3 \cdot 0 - 2}{0 - 2} = \frac{-2}{-2} = 1$. Точка $(0, 1)$.
С осью Ox (при $y=0$): $\frac{3x - 2}{x - 2} = 0 \implies 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$. Точка $(\frac{2}{3}, 0)$.

4. Таблица дополнительных точек.

5. График функции.
На координатной плоскости строим асимптоты $x=2$ и $y=3$. Затем отмечаем найденные точки и соединяем их плавными кривыми, получая ветви гиперболы.

Ответ: График функции — гипербола с асимптотами $x=2$ и $y=3$. Ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях относительно новых осей, образованных асимптотами.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю.

Приравняем функцию к нулю: $y = 0 \implies \frac{3x - 2}{x - 2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
1. Числитель: $3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$.
2. Знаменатель при $x = \frac{2}{3}$: $x - 2 = \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} \neq 0$.

Следовательно, $x = \frac{2}{3}$ является нулём функции.

Ответ: Нуль функции: $x = \frac{2}{3}$.

Промежутки знакопостоянства — это интервалы, на которых функция сохраняет свой знак (положительна или отрицательна). Для их нахождения решим неравенства $y > 0$ и $y < 0$, используя метод интервалов.

Ключевыми точками для метода интервалов являются нули функции и точки разрыва.
Нуль числителя: $x = \frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x = 2$.

Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак функции в каждом из них.

1. Интервал $(-\infty; \frac{2}{3})$: возьмём $x = 0$. $y(0) = \frac{-2}{-2} = 1 > 0$. Функция положительна.
2. Интервал $(\frac{2}{3}; 2)$: возьмём $x = 1$. $y(1) = \frac{1}{-1} = -1 < 0$. Функция отрицательна.
3. Интервал $(2; +\infty)$: возьмём $x = 3$. $y(3) = \frac{7}{1} = 7 > 0$. Функция положительна.

Ответ: Функция положительна ($y > 0$) при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (2; +\infty)$. Функция отрицательна ($y < 0$) при $x \in (\frac{2}{3}; 2)$.

173. Укажите функции, графиками которых являются гиперболы:

Графиком функции является гипербола, если эту функцию можно представить в виде дробно-линейной функции $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, где $c \neq 0$ и $ad-bc \neq 0$. Такой вид всегда можно преобразовать к каноническому виду $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где $k \neq 0$. Основным признаком является наличие переменной $x$ в знаменателе, при условии, что дробь не сокращается до линейной функции или константы. Проанализируем каждую функцию.

1. $y = \frac{15}{x - 3}$

Данная функция уже представлена в каноническом виде гиперболы $y = \frac{k}{x - x_0} + y_0$, где коэффициент $k = 15$, $x_0 = 3$ и $y_0 = 0$. Так как $k \neq 0$ и переменная $x$ находится в знаменателе, график этой функции — гипербола.

Ответ: графиком функции является гипербола.

2. $y = \frac{37 + x}{37 - x}$

Это дробно-линейная функция. Для приведения к каноническому виду выделим целую часть дроби:

$y = \frac{x + 37}{-x + 37} = \frac{-( -x + 37) + 37 + 37}{-x + 37} = \frac{-(-x + 37)}{-x + 37} + \frac{74}{-x + 37} = -1 + \frac{74}{-(x - 37)} = -1 - \frac{74}{x - 37}$.

В результате получили функцию $y = \frac{-74}{x - 37} - 1$. Это канонический вид гиперболы с $k = -74$, $x_0 = 37$ и $y_0 = -1$. Так как $k \neq 0$, график функции — гипербола.

Ответ: графиком функции является гипербола.

3. $y = \frac{8x - 5}{25}$

Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:

$y = \frac{8x}{25} - \frac{5}{25} = \frac{8}{25}x - \frac{1}{5}$.

Получили линейную функцию вида $y = mx + b$, где $m = \frac{8}{25}$ и $b = -\frac{1}{5}$. Графиком такой функции является прямая линия.

Ответ: графиком функции не является гипербола.

4. $y = \frac{8x - 40}{5x - 25}$

Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители:

$y = \frac{8(x - 5)}{5(x - 5)}$.

Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=5$, так как при $x=5$ знаменатель обращается в ноль. Для всех $x \neq 5$ дробь можно сократить:

$y = \frac{8}{5}$.

Графиком этой функции является горизонтальная прямая $y = 1.6$ с выколотой точкой при $x=5$. Это не гипербола.

Ответ: графиком функции не является гипербола.

Таким образом, функции, графиками которых являются гиперболы, это функции под номерами 1 и 2.

174. Докажите, что графику функции y =$\frac{2x+5}{x-3}$ принадлежат лишь две точки, у которых и абсцисса, и ордината — натуральные числа. Найдите координаты этих точек.

Для того чтобы доказать утверждение и найти точки с натуральными координатами на графике функции $y = \frac{2x + 5}{x - 3}$, мы должны найти все пары натуральных чисел $(x, y)$, которые удовлетворяют данному уравнению. Натуральные числа — это целые положительные числа (1, 2, 3, ...).

Сначала преобразуем выражение для функции, выделив в дроби целую часть. Для этого в числителе искусственно создадим выражение, кратное знаменателю: $2x + 5 = 2x - 6 + 6 + 5 = 2(x - 3) + 11$.

Теперь функция примет вид: $y = \frac{2(x - 3) + 11}{x - 3} = \frac{2(x - 3)}{x - 3} + \frac{11}{x - 3} = 2 + \frac{11}{x - 3}$.

По условию, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами. Из полученного выражения следует, что $y$ будет целым числом, если дробь $\frac{11}{x - 3}$ будет целым числом. Это возможно только тогда, когда знаменатель $(x - 3)$ является делителем числа 11.

Число 11 является простым, поэтому его целыми делителями являются только числа $1, -1, 11, -11$. Рассмотрим последовательно все четыре возможных случая.

Случай 1: $x - 3 = 1$. В этом случае $x = 4$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{1} = 13$. Это также натуральное число. Таким образом, точка $(4, 13)$ является решением.

Случай 2: $x - 3 = 11$. В этом случае $x = 14$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{11} = 3$. Это также натуральное число. Таким образом, точка $(14, 3)$ является решением.

Случай 3: $x - 3 = -1$. В этом случае $x = 2$. Это натуральное число. Вычисляем $y$: $y = 2 + \frac{11}{-1} = -9$. Это число не является натуральным, поэтому данное решение не подходит.

Случай 4: $x - 3 = -11$. В этом случае $x = -8$. Это число не является натуральным, поэтому данное решение не подходит.

Итак, мы перебрали все возможные варианты, при которых координаты точки могут быть целыми числами. Только в двух из них и абсцисса, и ордината оказались натуральными числами. Это доказывает, что графику функции принадлежат лишь две точки с натуральными координатами.

Ответ: Графику функции принадлежат ровно две точки с натуральными координатами: $(4, 13)$ и $(14, 3)$.

175. Найдите все точки графика функции y =$\frac{8x-7}{x}$, у которых и абсцисса, и ордината являются целыми числами.

По условию задачи, мы ищем точки на графике функции $y = \frac{8x - 7}{x}$, у которых абсцисса $x$ и ордината $y$ являются целыми числами.

Для того чтобы найти такие точки, преобразуем выражение для функции. Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{8x - 7}{x} = \frac{8x}{x} - \frac{7}{x} = 8 - \frac{7}{x}$

Из полученного выражения видно, что значение $y$ будет целым числом тогда и только тогда, когда выражение $\frac{7}{x}$ будет целым числом. Это возможно, если $x$ (который по условию тоже должен быть целым и не равным нулю) является делителем числа 7.

Найдем все целые делители числа 7. Такими делителями являются числа: $1$, $-1$, $7$, $-7$.

Теперь рассмотрим каждый из этих случаев, чтобы найти соответствующие им целочисленные значения $y$:

1. При $x = 1$:
$y = 8 - \frac{7}{1} = 8 - 7 = 1$
Таким образом, первая точка с целыми координатами — $(1, 1)$.

2. При $x = -1$:
$y = 8 - \frac{7}{-1} = 8 - (-7) = 8 + 7 = 15$
Вторая точка — $(-1, 15)$.

3. При $x = 7$:
$y = 8 - \frac{7}{7} = 8 - 1 = 7$
Третья точка — $(7, 7)$.

4. При $x = -7$:
$y = 8 - \frac{7}{-7} = 8 - (-1) = 8 + 1 = 9$
Четвертая точка — $(-7, 9)$.

Мы рассмотрели все возможные целочисленные значения $x$, при которых $y$ также является целым. Других таких точек на графике нет.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, 15)$, $(7, 7)$, $(-7, 9)$.

176. Решите графически уравнение $\frac{4x}{x+2}$= x - 3.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{4x}{x+2} = x-3$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{4x}{x+2}$ и $y = x-3$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Построение графика функции $y = \frac{4x}{x+2}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{4x}{x+2} = \frac{4(x+2) - 8}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$.

Этот вид показывает, что график функции $y = -\frac{8}{x}$ смещен на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 4 единицы вверх по оси $Oy$.

• Область определения функции: $x \neq -2$.
• Вертикальная асимптота (прямая, к которой стремится график, но не пересекает ее): $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 4$.

Вычислим координаты нескольких точек для построения графика:

• при $x = -6$, $y = \frac{4(-6)}{-6+2} = \frac{-24}{-4} = 6$; точка $(-6, 6)$
• при $x = -4$, $y = \frac{4(-4)}{-4+2} = \frac{-16}{-2} = 8$; точка $(-4, 8)$
• при $x = -3$, $y = \frac{4(-3)}{-3+2} = \frac{-12}{-1} = 12$; точка $(-3, 12)$
• при $x = -1$, $y = \frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$; точка $(-1, -4)$
• при $x = 0$, $y = \frac{4(0)}{0+2} = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 2$, $y = \frac{4(2)}{2+2} = \frac{8}{4} = 2$; точка $(2, 2)$
• при $x = 6$, $y = \frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$; точка $(6, 3)$

Построение графика функции $y = x-3$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• при $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$; точка $(0, -3)$
• при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$; точка $(3, 0)$

Нахождение решений

Построив оба графика в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Из вычисленных нами координат точек видно, что графики пересекаются в двух точках: $A(-1, -4)$ и $B(6, 3)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Проведем проверку, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение:

Проверка для $x = -1$:

Левая часть: $\frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$.

Правая часть: $x-3 = -1-3 = -4$.

Так как $-4 = -4$, корень $x=-1$ найден верно.

Проверка для $x = 6$:

Левая часть: $\frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$.

Правая часть: $x-3 = 6-3 = 3$.

Так как $3 = 3$, корень $x=6$ найден верно.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$.

177. Постройте график функции g(x) =$\frac{6}{|x-2|}$.

Решите уравнение:

а) g(x) = 3;

б) g(x) = 6;

в) g(x) = –2.

Для построения графика функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$ можно использовать метод преобразования графиков.

1. Начнем с графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. Далее построим график функции $y = \frac{6}{x-2}$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \frac{6}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота остается прежней — $y=0$.

3. Наконец, построим график искомой функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$. Так как $|x-2| \ge 0$, то и $g(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. График $g(x)$ можно получить из графика $y = \frac{6}{x-2}$ следующим образом:
- Для $x > 2$, имеем $|x-2| = x-2$, поэтому $g(x) = \frac{6}{x-2}$. На этом промежутке график $g(x)$ совпадает с правой ветвью графика $y = \frac{6}{x-2}$.
- Для $x < 2$, имеем $|x-2| = -(x-2) = 2-x$, поэтому $g(x) = \frac{6}{2-x}$. Часть графика $y = \frac{6}{x-2}$, расположенная при $x < 2$ (в третьей четверти относительно асимптот), симметрично отражается относительно оси Ox.

В результате график функции $g(x)$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=2$ и расположенных в верхней полуплоскости. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Область значений функции: $(0; +\infty)$.

Теперь решим уравнения, используя полученные знания о функции и ее графике.

а) g(x) = 3;

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = 3$.

Преобразуем уравнение: $|x-2| = \frac{6}{3}$, что дает $|x-2| = 2$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 2 = 2 \implies x = 4$.

2) $x - 2 = -2 \implies x = 0$.

Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения графика $y = g(x)$ с горизонтальной прямой $y=3$.

Ответ: $0; 4$.

б) g(x) = 6;

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = 6$.

Преобразуем уравнение: $|x-2| = \frac{6}{6}$, что дает $|x-2| = 1$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$.

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$.

Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения графика $y = g(x)$ с прямой $y=6$.

Ответ: $1; 3$.

в) g(x) = -2.

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = -2$.

Левая часть уравнения, $\frac{6}{|x-2|}$, всегда положительна для любого допустимого значения $x$ (т.к. $x \neq 2$), поскольку числитель 6 положителен, и знаменатель $|x-2|$ также всегда положителен.

Правая часть уравнения равна -2, то есть является отрицательным числом.

Положительное значение не может быть равно отрицательному, следовательно, уравнение не имеет решений.

Графически это означает, что график функции $y = g(x)$, который целиком лежит выше оси Ox, не имеет точек пересечения с прямой $y=-2$.

Ответ: решений нет.

178. Установите соответствие между функциями и их графиками, представленными на рисунке 39.

Для того чтобы установить соответствие между функциями и их графиками, мы проанализируем каждую функцию, определив ее ключевые характеристики, такие как асимптоты и точки пересечения с осями координат, а затем сопоставим эти характеристики с представленными графиками.

Данные функции:

1. $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

2. $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$

Обе функции являются дробно-рациональными. Их графики — гиперболы.

а)

Рассмотрим график, представленный на рисунке а).
1. Асимптоты. На графике мы видим вертикальную асимптоту $x = 1$ и горизонтальную асимптоту $y = 1$.
- Вертикальная асимптота $x=1$ возникает, когда знаменатель дроби равен нулю. У обеих функций знаменатель $(x-1)$, который обращается в ноль при $x=1$. Так что по этому признаку подходят обе функции.
- Горизонтальная асимптота для функции вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ находится как $y = \frac{a}{c}$.
Для функции $y = \frac{x+2}{x-1}$ асимптота $y = \frac{1}{1} = 1$.
Для функции $y = \frac{-x-2}{x-1}$ асимптота $y = \frac{-1}{1} = -1$.
Горизонтальная асимптота $y=1$ на графике а) соответствует первой функции.
2. Точки пересечения с осями. Для проверки найдем точки пересечения графика функции $y = \frac{x + 2}{x - 1}$ с осями координат.
- При $x = 0$, $y = \frac{0 + 2}{0 - 1} = -2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, -2)$.
- При $y = 0$, $\frac{x + 2}{x - 1} = 0$, что означает $x + 2 = 0$, следовательно $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.
Обе эти точки мы видим на графике а).
Следовательно, график а) соответствует функции $y = \frac{x + 2}{x - 1}$.
Ответ: $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

б)

Рассмотрим график, представленный на рисунке б).
1. Асимптоты. На этом графике вертикальная асимптота также $x = 1$, а горизонтальная асимптота — $y = -1$.
- Как мы уже определили, горизонтальная асимптота $y=-1$ соответствует функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
2. Точки пересечения с осями. Проверим точки пересечения для функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
- При $x = 0$, $y = \frac{-0 - 2}{0 - 1} = \frac{-2}{-1} = 2$. Точка пересечения с осью OY: $(0, 2)$.
- При $y = 0$, $\frac{-x - 2}{x - 1} = 0$, что означает $-x - 2 = 0$, следовательно $x = -2$. Точка пересечения с осью OX: $(-2, 0)$.
Обе эти точки соответствуют точкам на графике б).
Следовательно, график б) соответствует функции $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$.
Ответ: $y = \frac{-x - 2}{x - 1}$