Номер 177, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 177, страница 67.

Условие.

177. Постройте график функции g(x) =$\frac{6}{|x-2|}$.

Решите уравнение:

а) g(x) = 3;

б) g(x) = 6;

в) g(x) = –2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$ можно использовать метод преобразования графиков.

1. Начнем с графика базовой функции $y = \frac{6}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат ($x=0$ и $y=0$).

2. Далее построим график функции $y = \frac{6}{x-2}$. Этот график получается путем сдвига графика $y = \frac{6}{x}$ на 2 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота смещается и становится прямой $x=2$. Горизонтальная асимптота остается прежней — $y=0$.

3. Наконец, построим график искомой функции $g(x) = \frac{6}{|x-2|}$. Так как $|x-2| \ge 0$, то и $g(x) \ge 0$ для всех $x$ из области определения. График $g(x)$ можно получить из графика $y = \frac{6}{x-2}$ следующим образом:
- Для $x > 2$, имеем $|x-2| = x-2$, поэтому $g(x) = \frac{6}{x-2}$. На этом промежутке график $g(x)$ совпадает с правой ветвью графика $y = \frac{6}{x-2}$.
- Для $x < 2$, имеем $|x-2| = -(x-2) = 2-x$, поэтому $g(x) = \frac{6}{2-x}$. Часть графика $y = \frac{6}{x-2}$, расположенная при $x < 2$ (в третьей четверти относительно асимптот), симметрично отражается относительно оси Ox.

В результате график функции $g(x)$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно вертикальной асимптоты $x=2$ и расположенных в верхней полуплоскости. Горизонтальная асимптота — $y=0$. Область значений функции: $(0; +\infty)$.

Теперь решим уравнения, используя полученные знания о функции и ее графике.

а) g(x) = 3;

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = 3$.

Преобразуем уравнение: $|x-2| = \frac{6}{3}$, что дает $|x-2| = 2$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 2 = 2 \implies x = 4$.

2) $x - 2 = -2 \implies x = 0$.

Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения графика $y = g(x)$ с горизонтальной прямой $y=3$.

Ответ: $0; 4$.

б) g(x) = 6;

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = 6$.

Преобразуем уравнение: $|x-2| = \frac{6}{6}$, что дает $|x-2| = 1$.

Это уравнение распадается на два случая:

1) $x - 2 = 1 \implies x = 3$.

2) $x - 2 = -1 \implies x = 1$.

Графически это соответствует нахождению абсцисс точек пересечения графика $y = g(x)$ с прямой $y=6$.

Ответ: $1; 3$.

в) g(x) = -2.

Необходимо решить уравнение $\frac{6}{|x-2|} = -2$.

Левая часть уравнения, $\frac{6}{|x-2|}$, всегда положительна для любого допустимого значения $x$ (т.к. $x \neq 2$), поскольку числитель 6 положителен, и знаменатель $|x-2|$ также всегда положителен.

Правая часть уравнения равна -2, то есть является отрицательным числом.

Положительное значение не может быть равно отрицательному, следовательно, уравнение не имеет решений.

Графически это означает, что график функции $y = g(x)$, который целиком лежит выше оси Ox, не имеет точек пересечения с прямой $y=-2$.

Ответ: решений нет.