Номер 170, страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 170, страница 66.

Условие.

170. Найдите асимптоты гиперболы:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения асимптот гиперболы, заданной уравнением вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, необходимо найти ее вертикальные и горизонтальные асимптоты.

а) Дана функция $y=\frac{x+8}{x-2}$.

1. Вертикальная асимптота.
Вертикальная асимптота — это прямая вида $x=c$, где $c$ — корень знаменателя дроби, при котором числитель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Проверим значение числителя при $x=2$: $2+8=10 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y=c$, к которой стремится значение функции при $x \to \pm\infty$. Для ее нахождения выделим целую часть дроби:
$y = \frac{x+8}{x-2} = \frac{(x-2)+10}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{10}{x-2} = 1 + \frac{10}{x-2}$.
Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), слагаемое $\frac{10}{x-2}$ стремится к нулю. Таким образом, значение $y$ стремится к 1.
Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$.

б) Дана функция $y=-\frac{x-8}{x+3}$.

Сначала преобразуем выражение, внеся знак минус в числитель: $y = \frac{-(x-8)}{x+3} = \frac{-x+8}{x+3}$.

1. Вертикальная асимптота.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Проверим значение числителя при $x=-3$: $-(-3)+8 = 3+8=11 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{-x+8}{x+3} = \frac{-(x+3)+3+8}{x+3} = \frac{-(x+3)+11}{x+3} = \frac{-(x+3)}{x+3} + \frac{11}{x+3} = -1 + \frac{11}{x+3}$.
Когда $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{11}{x+3}$ стремится к нулю. Таким образом, значение $y$ стремится к -1.
Следовательно, прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-1$.