Номер 176, страница 67 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Дробно-линейная функция и её график. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 176, страница 67.

Условие.

176. Решите графически уравнение $\frac{4x}{x+2}$= x - 3.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы решить уравнение $\frac{4x}{x+2} = x-3$ графическим методом, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \frac{4x}{x+2}$ и $y = x-3$. Решениями уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Построение графика функции $y = \frac{4x}{x+2}$

Это дробно-линейная функция, ее график — гипербола. Для удобства построения преобразуем выражение, выделив целую часть:

$y = \frac{4x}{x+2} = \frac{4(x+2) - 8}{x+2} = \frac{4(x+2)}{x+2} - \frac{8}{x+2} = 4 - \frac{8}{x+2}$.

Этот вид показывает, что график функции $y = -\frac{8}{x}$ смещен на 2 единицы влево по оси $Ox$ и на 4 единицы вверх по оси $Oy$.

• Область определения функции: $x \neq -2$.
• Вертикальная асимптота (прямая, к которой стремится график, но не пересекает ее): $x = -2$.
• Горизонтальная асимптота: $y = 4$.

Вычислим координаты нескольких точек для построения графика:

• при $x = -6$, $y = \frac{4(-6)}{-6+2} = \frac{-24}{-4} = 6$; точка $(-6, 6)$
• при $x = -4$, $y = \frac{4(-4)}{-4+2} = \frac{-16}{-2} = 8$; точка $(-4, 8)$
• при $x = -3$, $y = \frac{4(-3)}{-3+2} = \frac{-12}{-1} = 12$; точка $(-3, 12)$
• при $x = -1$, $y = \frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$; точка $(-1, -4)$
• при $x = 0$, $y = \frac{4(0)}{0+2} = 0$; точка $(0, 0)$
• при $x = 2$, $y = \frac{4(2)}{2+2} = \frac{8}{4} = 2$; точка $(2, 2)$
• при $x = 6$, $y = \frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$; точка $(6, 3)$

Построение графика функции $y = x-3$

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• при $x = 0$, $y = 0 - 3 = -3$; точка $(0, -3)$
• при $x = 3$, $y = 3 - 3 = 0$; точка $(3, 0)$

Нахождение решений

Построив оба графика в одной системе координат, мы находим точки их пересечения. Из вычисленных нами координат точек видно, что графики пересекаются в двух точках: $A(-1, -4)$ и $B(6, 3)$.

Абсциссы этих точек и являются решениями исходного уравнения.

Проведем проверку, подставив найденные значения $x$ в исходное уравнение:

Проверка для $x = -1$:

Левая часть: $\frac{4(-1)}{-1+2} = \frac{-4}{1} = -4$.

Правая часть: $x-3 = -1-3 = -4$.

Так как $-4 = -4$, корень $x=-1$ найден верно.

Проверка для $x = 6$:

Левая часть: $\frac{4(6)}{6+2} = \frac{24}{8} = 3$.

Правая часть: $x-3 = 6-3 = 3$.

Так как $3 = 3$, корень $x=6$ найден верно.

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 = 6$.