Страница 66 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

168. Укажите асимптоты гиперболы:

а) Уравнение вида $y = \frac{k}{x-x_0} + y_0$ задает гиперболу. У такой гиперболы есть две асимптоты: вертикальная и горизонтальная.

Вертикальная асимптота — это прямая, параллельная оси ординат, уравнение которой находится из условия, что знаменатель дроби равен нулю (так как в этой точке функция не определена и ее график уходит в бесконечность). Для функции $y = \frac{10}{x-3} - 2$ приравниваем знаменатель к нулю:

$x - 3 = 0$

Отсюда получаем уравнение вертикальной асимптоты: $x = 3$.

Горизонтальная асимптота — это прямая, параллельная оси абсцисс, к которой стремится график функции, когда $x$ стремится к плюс или минус бесконечности ($x \to \pm\infty$). При очень больших по модулю значениях $x$, дробь $\frac{10}{x-3}$ стремится к нулю. Тогда значение функции $y$ стремится к значению $y_0$.

$y \to 0 - 2 = -2$

Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = -2$.

Ответ: асимптоты гиперболы — прямые $x=3$ и $y=-2$.

б) Аналогично найдем асимптоты для гиперболы $y = \frac{8}{x+2} - 3$.

Вертикальная асимптота находится из условия равенства знаменателя нулю:

$x + 2 = 0$

Отсюда уравнение вертикальной асимптоты: $x = -2$.

Горизонтальная асимптота. При $x \to \pm\infty$ дробь $\frac{8}{x+2}$ стремится к нулю. Тогда значение функции $y$ стремится к:

$y \to 0 - 3 = -3$

Следовательно, уравнение горизонтальной асимптоты: $y = -3$.

Ответ: асимптоты гиперболы — прямые $x=-2$ и $y=-3$.

169. Постройте график функции:

Для построения графиков всех заданных функций мы будем использовать преобразования базового графика функции $y=\frac{4}{x}$. Это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях, с асимптотами $x=0$ (ось Oy) и $y=0$ (ось Ox).

а) $y=\frac{4}{x-3}$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига (параллельного переноса) на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс Ox.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(3, 0)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Для более точного построения найдем координаты нескольких точек:
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1-3}=-2$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2-3}=-4$.
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4-3}=4$.
Если $x=5$, то $y=\frac{4}{5-3}=2$.
Если $x=7$, то $y=\frac{4}{7-3}=1$.
График представляет собой гиперболу с ветвями, расположенными относительно новых асимптот так же, как ветви $y=\frac{4}{x}$ относительно осей координат.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы вправо. Асимптоты: $x=3$, $y=0$.

б) $y=\frac{4}{x}+2$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси ординат Oy.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(0, 2)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=2$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-4$, то $y=\frac{4}{-4}+2=1$.
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2}+2=0$ (точка пересечения с осью Ox).
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1}+2=6$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2}+2=4$.
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4}+2=3$.
График — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=2$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вверх. Асимптоты: $x=0$, $y=2$.

в) $y=\frac{4}{x+3}$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс Ox.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(-3, 0)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
• Горизонтальная асимптота: $y=0$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-7$, то $y=\frac{4}{-7+3}=-1$.
Если $x=-5$, то $y=\frac{4}{-5+3}=-2$.
Если $x=-4$, то $y=\frac{4}{-4+3}=-4$.
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2+3}=4$.
Если $x=-1$, то $y=\frac{4}{-1+3}=2$.
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1+3}=1$.
График — гипербола с асимптотами $x=-3$ и $y=0$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы влево. Асимптоты: $x=-3$, $y=0$.

г) $y=\frac{4}{x}-2$

График этой функции получается из графика $y=\frac{4}{x}$ путем его сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси ординат Oy.
Новая система координат для графика будет иметь начало в точке $(0, -2)$.
Асимптоты графика:

• Вертикальная асимптота: $x=0$.
• Горизонтальная асимптота: $y=-2$.

Найдем координаты нескольких точек:
Если $x=-2$, то $y=\frac{4}{-2}-2=-4$.
Если $x=-1$, то $y=\frac{4}{-1}-2=-6$.
Если $x=1$, то $y=\frac{4}{1}-2=2$.
Если $x=2$, то $y=\frac{4}{2}-2=0$ (точка пересечения с осью Ox).
Если $x=4$, то $y=\frac{4}{4}-2=-1$.
График — гипербола с асимптотами $x=0$ и $y=-2$.

Ответ: График функции — гипербола, полученная сдвигом графика $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вниз. Асимптоты: $x=0$, $y=-2$.

170. Найдите асимптоты гиперболы:

Для нахождения асимптот гиперболы, заданной уравнением вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$, необходимо найти ее вертикальные и горизонтальные асимптоты.

а) Дана функция $y=\frac{x+8}{x-2}$.

1. Вертикальная асимптота.
Вертикальная асимптота — это прямая вида $x=c$, где $c$ — корень знаменателя дроби, при котором числитель не равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Проверим значение числителя при $x=2$: $2+8=10 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = 2$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Горизонтальная асимптота — это прямая вида $y=c$, к которой стремится значение функции при $x \to \pm\infty$. Для ее нахождения выделим целую часть дроби:
$y = \frac{x+8}{x-2} = \frac{(x-2)+10}{x-2} = \frac{x-2}{x-2} + \frac{10}{x-2} = 1 + \frac{10}{x-2}$.
Когда $x$ стремится к бесконечности ($x \to \pm\infty$), слагаемое $\frac{10}{x-2}$ стремится к нулю. Таким образом, значение $y$ стремится к 1.
Следовательно, прямая $y = 1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=2$, горизонтальная асимптота $y=1$.

б) Дана функция $y=-\frac{x-8}{x+3}$.

Сначала преобразуем выражение, внеся знак минус в числитель: $y = \frac{-(x-8)}{x+3} = \frac{-x+8}{x+3}$.

1. Вертикальная асимптота.
Приравняем знаменатель к нулю:
$x + 3 = 0 \implies x = -3$.
Проверим значение числителя при $x=-3$: $-(-3)+8 = 3+8=11 \neq 0$.
Следовательно, прямая $x = -3$ является вертикальной асимптотой.

2. Горизонтальная асимптота.
Выделим целую часть дроби:
$y = \frac{-x+8}{x+3} = \frac{-(x+3)+3+8}{x+3} = \frac{-(x+3)+11}{x+3} = \frac{-(x+3)}{x+3} + \frac{11}{x+3} = -1 + \frac{11}{x+3}$.
Когда $x \to \pm\infty$, слагаемое $\frac{11}{x+3}$ стремится к нулю. Таким образом, значение $y$ стремится к -1.
Следовательно, прямая $y = -1$ является горизонтальной асимптотой.

Ответ: вертикальная асимптота $x=-3$, горизонтальная асимптота $y=-1$.

171. Покажите схематически, как расположен график функции

а) $m > 0, n < 0$

График функции $y = \frac{k}{x-m} + n$ является гиперболой. Он получается из графика базовой функции $y = \frac{k}{x}$ с помощью параллельных переносов.

1. Определение асимптот. График имеет вертикальную и горизонтальную асимптоты. Вертикальная асимптота задается уравнением $x - m = 0$, то есть $x = m$. Поскольку по условию $m > 0$, эта прямая расположена правее оси ординат ($Oy$). Горизонтальная асимптота задается уравнением $y = n$. Поскольку по условию $n < 0$, эта прямая расположена ниже оси абсцисс ($Ox$).

2. Определение центра симметрии. Асимптоты пересекаются в точке $(m, n)$. Так как $m > 0$ и $n < 0$, эта точка находится в IV координатной четверти.

3. Расположение ветвей. По условию $k < 0$. Это означает, что ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях относительно новой системы координат, образованной асимптотами $x=m$ и $y=n$.

Схематически это выглядит так:

• Одна ветвь расположена в области, где $x > m$ и $y < n$. Эта ветвь целиком находится в IV координатной четверти основной системы координат.
• Вторая ветвь расположена в области, где $x < m$ и $y > n$. Эта ветвь пересекает ось $Oy$ и может пересекать ось $Ox$. Она проходит через I, II и IV координатные четверти.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=m$ (расположенной правее оси $Oy$) и горизонтальной асимптотой $y=n$ (расположенной ниже оси $Ox$). Ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот.

б) $m < 0, n > 0$

Аналогично проанализируем функцию $y = \frac{k}{x-m} + n$ при условиях $k < 0, m < 0, n > 0$.

1. Определение асимптот. Вертикальная асимптота: $x = m$. Так как $m < 0$, она расположена левее оси $Oy$. Горизонтальная асимптота: $y = n$. Так как $n > 0$, она расположена выше оси $Ox$.

2. Определение центра симметрии. Точка пересечения асимптот – $(m, n)$. Поскольку $m < 0$ и $n > 0$, центр симметрии гиперболы находится во II координатной четверти.

3. Расположение ветвей. Условие $k < 0$ означает, что ветви гиперболы располагаются во второй и четвертой четвертях относительно своих асимптот.

Схематически это выглядит так:

• Одна ветвь расположена в области, где $x < m$ и $y > n$. Эта ветвь целиком находится во II координатной четверти основной системы координат.
• Вторая ветвь расположена в области, где $x > m$ и $y < n$. Эта ветвь пересекает обе оси координат ($Ox$ и $Oy$) и проходит через I, III и IV координатные четверти.

Ответ: График функции представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $x=m$ (расположенной левее оси $Oy$) и горизонтальной асимптотой $y=n$ (расположенной выше оси $Ox$). Ветви гиперболы находятся во второй и четвертой четвертях относительно этих асимптот.