Номер 163, страница 61 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 163, страница 61.

Условие.

163. (Задача-исследование.) По графику функции y = ax² + bx + c (рис. 36) определите знаки коэффициентов a, b и c.

1) Объясните, как, пользуясь рисунком, можно определить знаки коэффициентов a и c. Укажите эти знаки.

2) Обсудите, как, пользуясь рисунком, можно определить знак коэффициента b. Укажите этот знак.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Объясним, как определить знаки коэффициентов $a$ и $c$ по графику функции $y = ax^2 + bx + c$.

Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы. Если ветви параболы направлены вверх, то $a > 0$. Если ветви направлены вниз, то $a < 0$.

Коэффициент $c$ показывает ординату точки пересечения графика с осью $Oy$, так как при $x=0$ значение функции равно $y(0) = a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = c$. Если парабола пересекает ось $Oy$ выше оси $Ox$, то $c > 0$. Если ниже оси $Ox$, то $c < 0$.

Теперь определим знаки для каждого графика:

• На рисунке а) ветви параболы направлены вниз, следовательно, $a < 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится ниже оси $Ox$, следовательно, $c < 0$.

• На рисунке б) ветви параболы направлены вверх, следовательно, $a > 0$. Точка пересечения с осью $Oy$ находится выше оси $Ox$, следовательно, $c > 0$.

Ответ: На рисунке а) знаки коэффициентов: $a < 0$, $c < 0$. На рисунке б) знаки коэффициентов: $a > 0$, $c > 0$.

2) Обсудим, как определить знак коэффициента $b$.

Знак коэффициента $b$ зависит от расположения вершины параболы. Абсцисса вершины параболы находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$. Из этой формулы можно выразить коэффициент $b$: $b = -2ax_0$. Таким образом, знак $b$ определяется знаками коэффициента $a$ и абсциссы вершины $x_0$.

• Если вершина параболы находится в левой полуплоскости ($x_0 < 0$), то знаки $a$ и $b$ совпадают (так как $-2ax_0$ будет иметь тот же знак, что и $b$).

• Если вершина параболы находится в правой полуплоскости ($x_0 > 0$), то знаки $a$ и $b$ противоположны.

Теперь определим знак коэффициента $b$ для каждого графика:

• На рисунке а) мы уже знаем, что $a < 0$. Вершина параболы находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a$ и $x_0$ имеют разные знаки, то коэффициент $b$ должен быть положительным. Проверим по формуле: $b = -2 \cdot (\text{отрицательное число}) \cdot (\text{положительное число}) > 0$. Следовательно, $b > 0$.

• На рисунке б) мы знаем, что $a > 0$. Вершина параболы также находится в правой полуплоскости, значит $x_0 > 0$. Так как $a$ и $x_0$ имеют одинаковые знаки, то коэффициент $b$ должен быть отрицательным. Проверим по формуле: $b = -2 \cdot (\text{положительное число}) \cdot (\text{положительное число}) < 0$. Следовательно, $b < 0$.

Ответ: На рисунке а) знак коэффициента $b$ – положительный ($b > 0$). На рисунке б) знак коэффициента $b$ – отрицательный ($b < 0$).