Номер 158, страница 60 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 158, страница 60.

Условие.

158. Выясните, график какой из функций изображён на рисунке 34.

y = x² + 6x, y = $\frac{1}{2}$x² – 3x, y = –x² – 6

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, график какой из функций изображён на рисунке, проанализируем свойства параболы, представленной на графике, и сравним их со свойствами каждой из предложенных функций.

Ключевые характеристики параболы на графике:

• Ветви параболы направлены вверх. Это означает, что коэффициент $a$ при $x^2$ в уравнении $y = ax^2 + bx + c$ должен быть положительным ($a > 0$).
• Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_v = 3$.
• График пересекает ось абсцисс ($x$) в точках $x=0$ и $x=6$.

Теперь рассмотрим каждую из предложенных функций.

$y = x^2 + 6x$

У этой функции коэффициент $a=1$, что больше нуля ($a>0$), поэтому ветви параболы направлены вверх, что соответствует графику. Однако абсцисса вершины этой параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Подставив значения $a=1$ и $b=6$, получим: $x_v = -\frac{6}{2 \cdot 1} = -3$. На графике абсцисса вершины равна $3$, а не $-3$. Следовательно, эта функция не соответствует изображению.

$y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$

У этой функции коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, так что ветви направлены вверх, что соответствует графику. Найдем абсциссу вершины. При $a=\frac{1}{2}$ и $b=-3$ имеем: $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 3$. Абсцисса вершины совпадает с абсциссой вершины на графике. Теперь найдем ординату вершины, подставив $x=3$ в функцию: $y_v = \frac{1}{2}(3)^2 - 3(3) = \frac{9}{2} - 9 = 4.5 - 9 = -4.5$. Координаты вершины $(3; -4.5)$ соответствуют графику. Проверим точки пересечения с осью $x$ (нули функции). Для этого решим уравнение $\frac{1}{2}x^2 - 3x = 0$: $x(\frac{1}{2}x - 3) = 0$. Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$. Эти точки также соответствуют графику. Все ключевые характеристики совпадают. Следовательно, эта функция соответствует графику на рисунке.

$y = -x^2 - 6$

У этой функции коэффициент $a = -1$, что меньше нуля ($a<0$). Это означает, что ветви параболы должны быть направлены вниз. На рисунке же ветви направлены вверх. Следовательно, эта функция не соответствует графику.

Таким образом, единственная функция, график которой изображён на рисунке, — это $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.

Ответ: $y = \frac{1}{2}x^2 - 3x$.