Номер 152, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 152, страница 59.

Условие.

152. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график:

а) значения y при x = –2,3; –0,5; 1,2;

б) значения x, при которых y = –4; –1; 1,7;

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = 2x^2 + 8x + 2$ определим ключевые характеристики параболы.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

1. Находим координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$.

Координата $x_v$ вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$:

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2$.

Подставляем $x_v = -2$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:

$y_v = 2(-2)^2 + 8(-2) + 2 = 2 \cdot 4 - 16 + 2 = 8 - 16 + 2 = -6$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-2, -6)$. Ось симметрии параболы — прямая $x = -2$.

2. Находим точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = 2(0)^2 + 8(0) + 2 = 2$. Точка пересечения — $(0, 2)$.

Пересечение с осью Ox (нули функции, при $y=0$):

$2x^2 + 8x + 2 = 0$.

Делим уравнение на 2: $x^2 + 4x + 1 = 0$.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: $x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$.

Нули функции: $x_1 = -2 - \sqrt{3} \approx -3.73$ и $x_2 = -2 + \sqrt{3} \approx -0.27$.

3. Находим несколько дополнительных точек для точности построения.

Возьмем точку, симметричную точке $(0, 2)$ относительно оси симметрии $x = -2$. Эта точка будет иметь $x = -4$, а $y$ останется тем же: $(-4, 2)$.

При $x = -1$: $y = 2(-1)^2 + 8(-1) + 2 = 2 - 8 + 2 = -4$. Точка $(-1, -4)$.

Симметричная ей точка: $(-3, -4)$.

Построив график по этим точкам (вершина $(-2, -6)$, точки $(-4, 2)$, $(-3, -4)$, $(-1, -4)$, $(0, 2)$ и нули функции), ответим на вопросы задачи.

---

а) значения у при x = -2,3; -0,5; 1,2;

Чтобы найти значения $y$ по графику, нужно найти на оси $x$ заданные значения, провести от них вертикальные линии до пересечения с параболой, а затем от точек пересечения провести горизонтальные линии к оси $y$ и определить соответствующие значения.

• При $x = -2.3$, значение $y$ будет немного выше минимального значения $-6$. По графику $y \approx -5.8$.
• При $x = -0.5$, по графику находим $y = -1.5$.
• При $x = 1.2$, по графику находим $y \approx 14.5$.

Ответ: при $x = -2.3$, $y \approx -5.8$; при $x = -0.5$, $y = -1.5$; при $x = 1.2$, $y \approx 14.5$.

б) значения x, при которых y = -4; -1; 7;

Чтобы найти значения $x$ по графику, нужно найти на оси $y$ заданные значения, провести через них горизонтальные прямые до пересечения с параболой, а затем от точек пересечения опустить перпендикуляры на ось $x$ и определить соответствующие значения.

• При $y = -4$, горизонтальная прямая пересекает параболу в двух точках. Их координаты по оси $x$ равны $x = -3$ и $x = -1$.
• При $y = -1$, прямая пересекает параболу в точках, для которых $x \approx -3.6$ и $x \approx -0.4$.
• При $y = 7$, прямая пересекает параболу в точках, для которых $x \approx -4.55$ и $x \approx 0.55$.

Ответ: $y = -4$ при $x = -3$ и $x = -1$; $y = -1$ при $x \approx -3.6$ и $x \approx -0.4$; $y = 7$ при $x \approx -4.55$ и $x \approx 0.55$.

в) нули функции и промежутки знакопостоянства;

Нули функции — это значения $x$, при которых график пересекает ось $Ox$ (т.е. $y=0$). Промежутки знакопостоянства — это интервалы по оси $x$, на которых график функции находится выше (y > 0) или ниже (y < 0) оси $Ox$.

• Нули функции: точки пересечения с осью $Ox$. Как мы вычислили ранее, это $x = -2 - \sqrt{3}$ и $x = -2 + \sqrt{3}$.
• Промежутки знакопостоянства:
  • Функция положительна ($y>0$), когда ее график лежит выше оси $Ox$. Это происходит на промежутках $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$.
  • Функция отрицательна ($y<0$), когда ее график лежит ниже оси $Ox$. Это происходит на промежутке $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

Ответ: нули функции: $x = -2 - \sqrt{3}$, $x = -2 + \sqrt{3}$. Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; -2 - \sqrt{3}) \cup (-2 + \sqrt{3}; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-2 - \sqrt{3}; -2 + \sqrt{3})$.

г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Промежутки возрастания и убывания определяются по вершине параболы. Наименьшее значение функции — это ордината вершины, так как ветви параболы направлены вверх.

• Промежутки возрастания и убывания:
  • Функция убывает на промежутке от $-\infty$ до абсциссы вершины. График идет вниз. Это промежуток $(-\infty; -2]$.
  • Функция возрастает на промежутке от абсциссы вершины до $+\infty$. График идет вверх. Это промежуток $[-2; +\infty)$.
• Наименьшее значение функции — это самое низкое значение, которое принимает $y$. Оно достигается в вершине параболы и равно $y_v = -6$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; -2]$ и возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Наименьшее значение функции равно -6 (достигается при $x=-2$).