Номер 150, страница 59 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

11. Построение графика квадратичной функции. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 150, страница 59.

Условие.

150. Квадратичная функция задана формулой:

а) y = x² – 4x + 7;

б) y = –2x² – 5x – 2.

Найдите координаты вершины параболы. Наметив на координатной плоскости вершину параболы и её ось симметрии, изобразите схематически график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = x^2 - 4x + 7$
Графиком данной квадратичной функции является парабола. Для её построения найдём координаты вершины и определим направление ветвей.
Координаты вершины параболы $(x_0; y_0)$, заданной уравнением $y = ax^2 + bx + c$, вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -4$, $c = 7$.
1. Найдём абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
2. Найдём ординату вершины, подставив значение $x_0$ в уравнение функции:
$y_0 = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
Таким образом, координаты вершины параболы — $(2; 3)$.
3. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через её вершину. Уравнение оси симметрии: $x = 2$.
4. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 1$, что больше нуля ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
5. Для схематического изображения графика наметим на координатной плоскости вершину $(2; 3)$ и проведём через неё вертикальную ось симметрии $x = 2$. Так как ветви параболы направлены вверх, она будет располагаться выше точки $(2; 3)$. Для уточнения можно найти точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x=0$: $y = 0^2 - 4 \cdot 0 + 7 = 7$. Значит, парабола проходит через точку $(0; 7)$.
Ответ: Координаты вершины: $(2; 3)$. Ось симметрии: $x = 2$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(2; 3)$, ветвями, направленными вверх.

б) $y = -2x^2 - 5x - 2$
Это также квадратичная функция, её график — парабола.
Коэффициенты уравнения: $a = -2$, $b = -5$, $c = -2$.
1. Найдём абсциссу вершины:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot (-2)} = -\frac{5}{4} = -1,25$.
2. Найдём ординату вершины:
$y_0 = -2\left(-\frac{5}{4}\right)^2 - 5\left(-\frac{5}{4}\right) - 2 = -2\left(\frac{25}{16}\right) + \frac{25}{4} - 2 = -\frac{25}{8} + \frac{50}{8} - \frac{16}{8} = \frac{-25 + 50 - 16}{8} = \frac{9}{8} = 1,125$.
Таким образом, координаты вершины параболы — $(-1,25; 1,125)$.
3. Уравнение оси симметрии: $x = -1,25$.
4. Коэффициент $a = -2 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
5. Для схематического изображения графика наметим на координатной плоскости вершину $(-1,25; 1,125)$ и ось симметрии $x = -1,25$. Ветви параболы направлены вниз от вершины. Точка пересечения с осью $Oy$ ($x=0$): $y = -2 \cdot 0^2 - 5 \cdot 0 - 2 = -2$. Парабола проходит через точку $(0; -2)$.
Ответ: Координаты вершины: $(-1,25; 1,125)$. Ось симметрии: $x = -1,25$. Схематический график — парабола с вершиной в точке $(-1,25; 1,125)$, ветвями, направленными вниз.