Номер 143, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 143, страница 55.

Условие.

143. При каких значениях a функция у = ax² – 5 имеет нули?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^2 - 5$ имеет нули, необходимо найти условия, при которых уравнение $ax^2 - 5 = 0$ имеет хотя бы одно решение.

Приравняем функцию к нулю:

$ax^2 - 5 = 0$

Выразим член с переменной $x$:

$ax^2 = 5$

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = 5$, что равносильно $0 = 5$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей. В этом случае функция представляет собой прямую $y = -5$, которая параллельна оси абсцисс и не пересекает её.

2. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = \frac{5}{a}$

Это уравнение имеет действительные корни для $x$ тогда и только тогда, когда выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

$\frac{5}{a} \ge 0$

Поскольку числитель $5$ — положительное число, для выполнения этого неравенства знаменатель $a$ также должен быть положительным. Если бы $a$ был отрицательным, то вся дробь была бы отрицательной, и уравнение не имело бы действительных корней.

Следовательно, должно выполняться условие $a > 0$.

Таким образом, функция $y = ax^2 - 5$ имеет нули (два различных корня $x = \pm\sqrt{\frac{5}{a}}$) только при $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.