Номер 138, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 138, страница 54.

Условие.

138. Изобразите схематически график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения схематического графика каждой функции мы будем использовать её уравнение в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы (вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$), а его модуль $|a|$ влияет на "ширину" параболы по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение уже представлено в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.
1. Координаты вершины: Сравнивая с общей формой, находим $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Форма параболы: Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем график стандартной функции $y = x^2$.
Для схематического изображения отмечаем на координатной плоскости точку вершины $(2, 1)$ и проводим через неё параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной параболы $y=x^2$.

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1$

Это также парабола. Уравнение можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}(x - (-3))^2 - 1$.
1. Координаты вершины: Из уравнения видно, что $x_0 = -3$ и $y_0 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(-3, -1)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.
3. Форма параболы: Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола шире, чем $y = x^2$.
Для схематического изображения отмечаем вершину в точке $(-3, -1)$ и рисуем параболу с ветвями вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной параболы $y=x^2$.

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5$

Графиком функции является парабола.
1. Координаты вершины: Из уравнения $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ находим, что $x_0 = 3$ и $y_0 = 5$. Вершина параболы — точка $(3, 5)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = -4$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Форма параболы: Так как $|a| = |-4| = 4 > 1$, парабола будет уже (сильнее вытянута по вертикали), чем график функции $y = x^2$.
Схематически изображаем параболу с вершиной в точке $(3, 5)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, 5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной параболы $y=x^2$.

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2$

Графиком функции является парабола. Перепишем уравнение как $y = -4(x - (-2))^2 - 2$.
1. Координаты вершины: Из уравнения находим $x_0 = -2$ и $y_0 = -2$. Вершина находится в точке $(-2, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Форма параболы: Так как $|a| = |-4| = 4 > 1$, парабола уже, чем $y = x^2$.
Схематически изображаем параболу с вершиной в точке $(-2, -2)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной параболы $y=x^2$.