Номер 135, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 135, страница 54.

Условие.

135. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графиков заданных функций используется шаблон параболы $y=x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, осью симметрии $x=0$ и ветвями, направленными вверх. Построение остальных графиков осуществляется с помощью геометрических преобразований: параллельного переноса (сдвига) и симметричного отражения.

а) $y = x^2 - 4$

График функции $y = x^2 - 4$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Общее правило гласит: чтобы построить график функции $y = f(x) + c$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси $Oy$. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Так как $c < 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 4 единицы вниз.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 4 единицы вниз, вершина новой параболы окажется в точке $(0, -4)$. Ось симметрии останется прежней ($x=0$), и ветви будут по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

б) $y = -x^2 + 3$

Для построения графика функции $y = -x^2 + 3$ необходимо выполнить два преобразования над графиком $y = x^2$.

1. Симметричное отражение. Сначала строим график функции $y = -x^2$. Он получается из графика $y=x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). Ветви параболы $y = -x^2$ будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.

2. Параллельный перенос. Теперь строим график функции $y = -x^2 + 3$. Он получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$ (так как $c = 3 > 0$).

Вершина параболы $y=-x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 3 единицы вверх, вершина новой параболы окажется в точке $(0, 3)$. Ось симметрии останется $x=0$, а ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 3$ — это парабола $y=x^2$, отраженная симметрично относительно оси $Ox$ и затем сдвинутая на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$, ветви направлены вниз.

в) $y = (x - 5)^2$

График функции $y = (x - 5)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).

Общее правило гласит: чтобы построить график функции $y = f(x-c)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси $Ox$. Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ — влево.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = 5$. Так как $c > 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 5 единиц вправо.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 5 единиц вправо, вершина новой параболы окажется в точке $(5, 0)$. Осью симметрии станет прямая $x=5$, а ветви будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x - 5)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(5, 0)$.

г) $y = (x + 3)^2$

График функции $y = (x + 3)^2$ также получается из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси $Ox$.

Функцию можно представить в виде $y = (x - (-3))^2$. В этом случае $f(x) = x^2$ и $c = -3$. Так как $c < 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 3 единицы влево.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 3 единицы влево, вершина новой параболы окажется в точке $(-3, 0)$. Осью симметрии станет прямая $x=-3$, а ветви будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.