Номер 129, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 129, страница 49.

Условие.

129. Площадь круга S (см²) вычисляется по формуле S = πr², где r (см) — радиус круга. Постройте график функции S = πr² и найдите по графику:

а) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см;

б) радиус круга, площадь которого равна 1,8 см²; 2,5 см²; 6,5 см².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи сначала построим график функции $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь круга, а $r$ — его радиус. Поскольку радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), мы будем строить график только в первой координатной четверти. Для построения возьмем несколько значений $r$, вычислим соответствующие значения $S$, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Составим таблицу значений:

• При $r = 0$, $S = 3,14 \cdot 0^2 = 0$.
• При $r = 0,5$, $S = 3,14 \cdot (0,5)^2 = 3,14 \cdot 0,25 \approx 0,8$.
• При $r = 1$, $S = 3,14 \cdot 1^2 = 3,14$.
• При $r = 1,5$, $S = 3,14 \cdot (1,5)^2 = 3,14 \cdot 2,25 \approx 7,1$.
• При $r = 2$, $S = 3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56$.
• При $r = 2,5$, $S = 3,14 \cdot (2,5)^2 = 3,14 \cdot 6,25 \approx 19,6$.

Теперь построим график. Отложим на горизонтальной оси (оси абсцисс) значения радиуса $r$ (в см), а на вертикальной оси (оси ординат) — значения площади $S$ (в см?). Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(0; 0)$, $(0,5; 0,8)$, $(1; 3,14)$, $(1,5; 7,1)$, $(2; 12,56)$, $(2,5; 19,6)$ и соединим их плавной кривой. Полученный график является ветвью параболы.

Теперь найдем по графику требуемые значения.

а)

Чтобы найти площадь круга по известному радиусу, нужно найти на оси абсцисс ($r$) заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат ($S$). Точка пересечения с осью ординат и будет искомым значением площади.

• Если радиус $r = 1,3$ см, находим на оси $r$ значение 1,3. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 5,3$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (1,3)^2 = 1,69\pi \approx 5,31$ см?)
• Если радиус $r = 0,8$ см, находим на оси $r$ значение 0,8. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 2,0$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (0,8)^2 = 0,64\pi \approx 2,01$ см?)
• Если радиус $r = 2,1$ см, находим на оси $r$ значение 2,1. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 13,8$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (2,1)^2 = 4,41\pi \approx 13,85$ см?)

Ответ: при $r = 1,3$ см, $S \approx 5,3$ см?; при $r = 0,8$ см, $S \approx 2,0$ см?; при $r = 2,1$ см, $S \approx 13,8$ см?.

б)

Чтобы найти радиус круга по известной площади, нужно выполнить обратную операцию: найти на оси ординат ($S$) заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести вертикальную линию до оси абсцисс ($r$). Точка пересечения с осью абсцисс и будет искомым значением радиуса.

• Если площадь $S = 1,8$ см?, находим на оси $S$ значение 1,8. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 0,8$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{1,8/\pi} \approx \sqrt{0,573} \approx 0,76$ см)
• Если площадь $S = 2,5$ см?, находим на оси $S$ значение 2,5. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 0,9$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{2,5/\pi} \approx \sqrt{0,796} \approx 0,89$ см)
• Если площадь $S = 6,5$ см?, находим на оси $S$ значение 6,5. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 1,4$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{6,5/\pi} \approx \sqrt{2,07} \approx 1,44$ см)

Ответ: при $S = 1,8$ см?, $r \approx 0,8$ см; при $S = 2,5$ см?, $r \approx 0,9$ см; при $S = 6,5$ см?, $r \approx 1,4$ см.