Номер 133, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 133, страница 49.

Условие.

133. Решите уравнение (х + 3)² – (х – 3)² = (х – 2)² + (х + 2)² и отметьте его корни на координатной прямой.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Решите уравнение $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$

Для решения данного уравнения раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения:

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Вычтем второе выражение из первого:

$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Сложим полученные выражения:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 8$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$12x = 2x^2 + 8$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 12x + 8 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1, b=-6, c=4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$

Ответ: $x_1 = 3 + \sqrt{5}, x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

Отметьте его корни на координатной прямой

Для того чтобы отметить корни на координатной прямой, оценим их приближенные значения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Используем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.24$.

$x_1 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$

$x_2 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$

Теперь отметим эти точки на координатной прямой, подписав их точными значениями.

Ответ: Корни $3 - \sqrt{5}$ и $3 + \sqrt{5}$ отмечены на координатной прямой.