Номер 137, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 137, страница 54.

Условие.

137. В каких координатных четвертях расположен график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график функции, необходимо проанализировать два ключевых аспекта квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (или в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$): направление ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и расположение ее вершины $(h, k)$.

а) Для функции $y = 10x^2 + 5$:
Это парабола, у которой коэффициент при $x^2$ равен $a=10$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Данная функция представлена в виде $y = ax^2 + c$, где $c=5$. Вершина такой параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; 5)$.
Вершина параболы лежит на положительной части оси ординат (Oy), а ветви направлены вверх. Это означает, что наименьшее значение функции равно 5 (при $x=0$), и все остальные значения $y$ будут больше 5. Таким образом, весь график расположен выше оси абсцисс (Ox), где $y > 0$. Поскольку $x$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, график функции будет находиться в I ($x>0, y>0$) и II ($x<0, y>0$) координатных четвертях.
Ответ: I и II.

б) Для функции $y = -7x^2 - 3$:
Это парабола, у которой коэффициент при $x^2$ равен $a=-7$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.
Вершина лежит на отрицательной части оси ординат (Oy), а ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно -3 (при $x=0$), и все остальные значения $y$ будут меньше -3. Таким образом, весь график расположен ниже оси абсцисс (Ox), где $y < 0$. График будет находиться в III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$) координатных четвертях.
Ответ: III и IV.

в) Для функции $y = -6x^2 + 8$:
Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -6 < 0$). Вершина находится в точке $(0; 8)$.
Вершина параболы расположена на положительной части оси Oy, то есть в верхней полуплоскости. Поскольку ветви направлены вниз, парабола будет пересекать ось Ox и уходить в нижнюю полуплоскость. Это означает, что на графике будут точки с положительными и отрицательными значениями $y$.
Так как парабола симметрична относительно оси Oy и пересекает ее, она будет проходить через все четыре координатные четверти:

• В I четверти ($x > 0, y > 0$)
• Во II четверти ($x < 0, y > 0$)
• В III четверти ($x < 0, y < 0$)
• В IV четверти ($x > 0, y < 0$)

Ответ: I, II, III и IV.

г) Для функции $y = (x - 4)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь $a=1, h=4, k=0$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(h; k) = (4; 0)$.
Вершина лежит на положительной части оси абсцисс (Ox). Так как ветви направлены вверх, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Это значит, что график целиком находится в верхней полуплоскости (I и II четверти). Так как парабола проходит через точку $(0; 16)$, она расположена и в I, и во II четвертях.
Ответ: I и II.

д) Для функции $y = -(x - 8)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь $a=-1, h=8, k=0$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$). Вершина параболы находится в точке $(8; 0)$.
Вершина лежит на положительной части оси Ox. Так как ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Это значит, что график целиком находится в нижней полуплоскости (III и IV четверти). Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -64)$, поэтому она расположена и в III, и в IV четвертях.
Ответ: III и IV.

е) Для функции $y = -3(x + 5)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Уравнение можно переписать как $y = -3(x - (-5))^2 + 0$. Здесь $a=-3, h=-5, k=0$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-3 < 0$). Вершина параболы находится в точке $(-5; 0)$.
Вершина лежит на отрицательной части оси Ox. Так как ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Это значит, что график целиком находится в нижней полуплоскости. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -75)$. Следовательно, график расположен в III и IV четвертях.
Ответ: III и IV.