Страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

134. Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей):

а)

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$: это парабола, заданная уравнением вида $y = ax^2$. Ее вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, он положительный ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 4 единицы вверх вдоль оси OY. Таким образом, вершина параболы смещается в точку $(0, 4)$. Направление ветвей не меняется, они по-прежнему направлены вверх, так как $a = \frac{1}{2} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, 4)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, -3)$. Направление ветвей остается прежним — вверх ($a = \frac{1}{2} > 0$).
Ответ: вершина в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх.

б)

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$: это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, он отрицательный ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$: график этой функции получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, 2)$. Ветви направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{3} < 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, 2)$, ветви направлены вниз.

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$: график этой функции получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, -1)$. Ветви направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{3} < 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, -1)$, ветви направлены вниз.

в)

Для функции $y = \frac{1}{5}x^2$: это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{5}$, он положительный ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$: это парабола, заданная уравнением вида $y = a(x - h)^2$. Ее график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Ветви направлены вверх, так как $a = \frac{1}{5} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси OX, так как выражение $(x+3)^2$ соответствует сдвигу на $-3$. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$. Ветви направлены вверх, так как $a = \frac{1}{5} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.

135. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции:

Для построения графиков заданных функций используется шаблон параболы $y=x^2$. Это стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, осью симметрии $x=0$ и ветвями, направленными вверх. Построение остальных графиков осуществляется с помощью геометрических преобразований: параллельного переноса (сдвига) и симметричного отражения.

а) $y = x^2 - 4$

График функции $y = x^2 - 4$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат (оси $Oy$).

Общее правило гласит: чтобы построить график функции $y = f(x) + c$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси $Oy$. Если $c > 0$, сдвиг происходит вверх, если $c < 0$ — вниз.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Так как $c < 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 4 единицы вниз.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 4 единицы вниз, вершина новой параболы окажется в точке $(0, -4)$. Ось симметрии останется прежней ($x=0$), и ветви будут по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 - 4$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 4 единицы вниз вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, -4)$.

б) $y = -x^2 + 3$

Для построения графика функции $y = -x^2 + 3$ необходимо выполнить два преобразования над графиком $y = x^2$.

1. Симметричное отражение. Сначала строим график функции $y = -x^2$. Он получается из графика $y=x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс (оси $Ox$). Ветви параболы $y = -x^2$ будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.

2. Параллельный перенос. Теперь строим график функции $y = -x^2 + 3$. Он получается из графика $y = -x^2$ сдвигом на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$ (так как $c = 3 > 0$).

Вершина параболы $y=-x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 3 единицы вверх, вершина новой параболы окажется в точке $(0, 3)$. Ось симметрии останется $x=0$, а ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 + 3$ — это парабола $y=x^2$, отраженная симметрично относительно оси $Ox$ и затем сдвинутая на 3 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$, ветви направлены вниз.

в) $y = (x - 5)^2$

График функции $y = (x - 5)^2$ получается из графика функции $y = x^2$ с помощью параллельного переноса вдоль оси абсцисс (оси $Ox$).

Общее правило гласит: чтобы построить график функции $y = f(x-c)$, нужно сдвинуть график функции $y = f(x)$ на $c$ единиц вдоль оси $Ox$. Если $c > 0$, сдвиг происходит вправо, если $c < 0$ — влево.

В нашем случае $f(x) = x^2$ и $c = 5$. Так как $c > 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 5 единиц вправо.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 5 единиц вправо, вершина новой параболы окажется в точке $(5, 0)$. Осью симметрии станет прямая $x=5$, а ветви будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x - 5)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 5 единиц вправо вдоль оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(5, 0)$.

г) $y = (x + 3)^2$

График функции $y = (x + 3)^2$ также получается из графика $y = x^2$ сдвигом вдоль оси $Ox$.

Функцию можно представить в виде $y = (x - (-3))^2$. В этом случае $f(x) = x^2$ и $c = -3$. Так как $c < 0$, необходимо сдвинуть параболу $y = x^2$ на 3 единицы влево.

Вершина параболы $y=x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига на 3 единицы влево, вершина новой параболы окажется в точке $(-3, 0)$. Осью симметрии станет прямая $x=-3$, а ветви будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 3)^2$ — это парабола $y=x^2$, сдвинутая на 3 единицы влево вдоль оси $Ox$. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$.

136. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции:

а) $y = x^2 + 2$

Для построения графика функции $y = x^2 + 2$, необходимо взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить преобразование. Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = x^2$ вдоль оси ординат (оси OY). Поскольку $c = 2 > 0$, сдвиг выполняется на 2 единицы вверх. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вершина параболы $y = x^2 + 2$ окажется в точке $(0, 2)$. Все остальные точки параболы также сдвигаются на 2 единицы вверх. Ветви параболы по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

б) $y = -x^2 - 1$

Для построения графика функции $y = -x^2 - 1$ необходимо выполнить два последовательных преобразования шаблона параболы $y = x^2$.
1. Сначала построим график функции $y = -x^2$. Знак "минус" перед $x^2$ означает, что график функции $y = x^2$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX). Ветви полученной параболы будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.
2. Затем выполним преобразование для функции $y = -x^2 - 1$. Это соответствует параллельному переносу графика $y = -x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY (так как $c = -1 < 0$).
Вершина параболы $y = -x^2 - 1$ окажется в точке $(0, -1)$, а ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его симметричного отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

в) $y = (x + 4)^2$

Для построения графика функции $y = (x + 4)^2$, необходимо взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить преобразование. Функцию можно представить в виде $y = (x - (-4))^2$. Это соответствует виду $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Это параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = x^2$ вдоль оси абсцисс (оси OX). Поскольку $c = -4 < 0$, сдвиг выполняется на 4 единицы влево. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вершина параболы $y = (x + 4)^2$ окажется в точке $(-4, 0)$. Ветви параболы по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 4 единицы влево вдоль оси OX.

г) $y = -(x - 3)^2$

Для построения графика функции $y = -(x - 3)^2$ необходимо выполнить два последовательных преобразования шаблона параболы $y = x^2$.
1. Сначала рассмотрим функцию $y = (x - 3)^2$. Это соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX (так как $c = 3 > 0$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.
2. Затем рассмотрим функцию $y = -(x - 3)^2$. Знак "минус" перед скобкой означает, что график функции $y = (x - 3)^2$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX).
В результате вершина параболы останется в точке $(3, 0)$, но ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси OX и последующего симметричного отражения относительно оси OX.

137. В каких координатных четвертях расположен график функции:

Чтобы определить, в каких координатных четвертях расположен график функции, необходимо проанализировать два ключевых аспекта квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (или в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$): направление ветвей параболы (определяется знаком коэффициента $a$) и расположение ее вершины $(h, k)$.

а) Для функции $y = 10x^2 + 5$:
Это парабола, у которой коэффициент при $x^2$ равен $a=10$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Данная функция представлена в виде $y = ax^2 + c$, где $c=5$. Вершина такой параболы находится в точке $(0; c)$, то есть в точке $(0; 5)$.
Вершина параболы лежит на положительной части оси ординат (Oy), а ветви направлены вверх. Это означает, что наименьшее значение функции равно 5 (при $x=0$), и все остальные значения $y$ будут больше 5. Таким образом, весь график расположен выше оси абсцисс (Ox), где $y > 0$. Поскольку $x$ может принимать как положительные, так и отрицательные значения, график функции будет находиться в I ($x>0, y>0$) и II ($x<0, y>0$) координатных четвертях.
Ответ: I и II.

б) Для функции $y = -7x^2 - 3$:
Это парабола, у которой коэффициент при $x^2$ равен $a=-7$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Вершина параболы находится в точке $(0; -3)$.
Вершина лежит на отрицательной части оси ординат (Oy), а ветви направлены вниз. Наибольшее значение функции равно -3 (при $x=0$), и все остальные значения $y$ будут меньше -3. Таким образом, весь график расположен ниже оси абсцисс (Ox), где $y < 0$. График будет находиться в III ($x<0, y<0$) и IV ($x>0, y<0$) координатных четвертях.
Ответ: III и IV.

в) Для функции $y = -6x^2 + 8$:
Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -6 < 0$). Вершина находится в точке $(0; 8)$.
Вершина параболы расположена на положительной части оси Oy, то есть в верхней полуплоскости. Поскольку ветви направлены вниз, парабола будет пересекать ось Ox и уходить в нижнюю полуплоскость. Это означает, что на графике будут точки с положительными и отрицательными значениями $y$.
Так как парабола симметрична относительно оси Oy и пересекает ее, она будет проходить через все четыре координатные четверти:

• В I четверти ($x > 0, y > 0$)
• Во II четверти ($x < 0, y > 0$)
• В III четверти ($x < 0, y < 0$)
• В IV четверти ($x > 0, y < 0$)

Ответ: I, II, III и IV.

г) Для функции $y = (x - 4)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь $a=1, h=4, k=0$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$). Вершина параболы находится в точке $(h; k) = (4; 0)$.
Вершина лежит на положительной части оси абсцисс (Ox). Так как ветви направлены вверх, все значения функции неотрицательны ($y \ge 0$). Это значит, что график целиком находится в верхней полуплоскости (I и II четверти). Так как парабола проходит через точку $(0; 16)$, она расположена и в I, и во II четвертях.
Ответ: I и II.

д) Для функции $y = -(x - 8)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Здесь $a=-1, h=8, k=0$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-1 < 0$). Вершина параболы находится в точке $(8; 0)$.
Вершина лежит на положительной части оси Ox. Так как ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Это значит, что график целиком находится в нижней полуплоскости (III и IV четверти). Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -64)$, поэтому она расположена и в III, и в IV четвертях.
Ответ: III и IV.

е) Для функции $y = -3(x + 5)^2$:
Это парабола вида $y = a(x - h)^2 + k$. Уравнение можно переписать как $y = -3(x - (-5))^2 + 0$. Здесь $a=-3, h=-5, k=0$.
Ветви параболы направлены вниз ($a=-3 < 0$). Вершина параболы находится в точке $(-5; 0)$.
Вершина лежит на отрицательной части оси Ox. Так как ветви направлены вниз, все значения функции неположительны ($y \le 0$). Это значит, что график целиком находится в нижней полуплоскости. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -75)$. Следовательно, график расположен в III и IV четвертях.
Ответ: III и IV.

138. Изобразите схематически график функции:

Для построения схематического графика каждой функции мы будем использовать её уравнение в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы (вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$), а его модуль $|a|$ влияет на "ширину" параболы по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$.

а) $y = \frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$

Это уравнение квадратичной функции, график которой — парабола. Уравнение уже представлено в вершинной форме $y = a(x - x_0)^2 + y_0$.
1. Координаты вершины: Сравнивая с общей формой, находим $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2, 1)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{2}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
3. Форма параболы: Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола будет шире, чем график стандартной функции $y = x^2$.
Для схематического изображения отмечаем на координатной плоскости точку вершины $(2, 1)$ и проводим через неё параболу с ветвями, направленными вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(2, 1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной параболы $y=x^2$.

б) $y = \frac{1}{2}(x + 3)^2 - 1$

Это также парабола. Уравнение можно переписать в виде $y = \frac{1}{2}(x - (-3))^2 - 1$.
1. Координаты вершины: Из уравнения видно, что $x_0 = -3$ и $y_0 = -1$. Вершина параболы находится в точке $(-3, -1)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = \frac{1}{2} > 0$, поэтому ветви параболы направлены вверх.
3. Форма параболы: Так как $|a| = \frac{1}{2} < 1$, парабола шире, чем $y = x^2$.
Для схематического изображения отмечаем вершину в точке $(-3, -1)$ и рисуем параболу с ветвями вверх.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-3, -1)$, ветви которой направлены вверх. Парабола шире стандартной параболы $y=x^2$.

в) $y = -4(x - 3)^2 + 5$

Графиком функции является парабола.
1. Координаты вершины: Из уравнения $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ находим, что $x_0 = 3$ и $y_0 = 5$. Вершина параболы — точка $(3, 5)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = -4$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
3. Форма параболы: Так как $|a| = |-4| = 4 > 1$, парабола будет уже (сильнее вытянута по вертикали), чем график функции $y = x^2$.
Схематически изображаем параболу с вершиной в точке $(3, 5)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(3, 5)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной параболы $y=x^2$.

г) $y = -4(x + 2)^2 - 2$

Графиком функции является парабола. Перепишем уравнение как $y = -4(x - (-2))^2 - 2$.
1. Координаты вершины: Из уравнения находим $x_0 = -2$ и $y_0 = -2$. Вершина находится в точке $(-2, -2)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент $a = -4 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Форма параболы: Так как $|a| = |-4| = 4 > 1$, парабола уже, чем $y = x^2$.
Схематически изображаем параболу с вершиной в точке $(-2, -2)$ и ветвями, направленными вниз.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(-2, -2)$, ветви которой направлены вниз. Парабола уже стандартной параболы $y=x^2$.

139. Изобразите схематически график функции:

Графиком квадратичной функции $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$ является парабола. Уравнение задано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые характеристики графика для его схематического построения.

1. Вершина параболы. Координаты вершины определяются значениями $h$ и $k$. В данном случае $h = 2$ и $k = -3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

2. Направление ветвей. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$. Здесь $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Форма параболы. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{4}$. Так как $0 < |a| < 1$, парабола будет "шире" (вертикально сжата) по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2$.

4. Точки для построения. Для построения схематического графика найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим $x=0$ в уравнение:
$y(0) = \frac{1}{4}(0 - 2)^2 - 3 = \frac{1}{4}(4) - 3 = 1 - 3 = -2$.
График проходит через точку $(0, -2)$. Точка, симметричная $(0, -2)$ относительно оси симметрии $x=2$, будет иметь координаты $(4, -2)$.

Для построения схематического графика нужно отметить вершину в точке $(2, -3)$ и построить параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(0, -2)$ и $(4, -2)$.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

Графиком квадратичной функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$ является парабола. Уравнение задано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Вершина параболы. Уравнение можно представить в виде $y = -\frac{1}{4}(x - (-2))^2 + 3$. Отсюда $h = -2$ и $k = 3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, 3)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -\frac{1}{4}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Форма параболы. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{4}$. Так как $0 < |a| < 1$, парабола будет "шире" (вертикально сжата) по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -2$.

4. Точки для построения. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$ в уравнение:
$y(0) = -\frac{1}{4}(0 + 2)^2 + 3 = -\frac{1}{4}(4) + 3 = -1 + 3 = 2$.
График проходит через точку $(0, 2)$. Точка, симметричная $(0, 2)$ относительно оси симметрии $x=-2$, будет иметь координаты $(-4, 2)$.

Для построения схематического графика нужно отметить вершину в точке $(-2, 3)$ и построить параболу с ветвями вниз, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$ и ветвями, направленными вниз.