Страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

140. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции:

а) у = (x – 2)² + 3;

б) у = –(x – 3)² + 5.

а) $y = (x - 2)^2 + 3$

График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ является параболой, полученной из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью последовательных преобразований (параллельных переносов).

Общий вид уравнения параболы с вершиной, смещенной из начала координат, таков: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ – координаты вершины параболы.

В нашем случае $a=1$, $h=2$ и $k=3$. Это означает следующее:

1. График функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх) сдвигается вправо на $h=2$ единицы. Это преобразование соответствует члену $(x - 2)$. После этого сдвига мы получаем график функции $y = (x - 2)^2$. Вершина новой параболы находится в точке $(2, 0)$.
2. Затем полученный график сдвигается вверх на $k=3$ единицы. Это преобразование соответствует члену $+3$. Вершина параболы перемещается из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 3)$.

Таким образом, для построения графика функции $y = (x - 2)^2 + 3$ нужно взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить следующие действия:

• Сдвинуть его по оси $Ox$ на 2 единицы вправо.
• Сдвинуть его по оси $Oy$ на 3 единицы вверх.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(2, 3)$, осью симметрии $x = 2$ и ветвями, направленными вверх (так как $a=1 > 0$).

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси абсцисс и на 3 единицы вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$.

б) $y = -(x - 3)^2 + 5$

График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ также является параболой, полученной из графика $y = x^2$ путем преобразований.

Снова используем форму $y = a(x - h)^2 + k$. В данном случае $a=-1$, $h=3$ и $k=5$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Знак "минус" перед скобкой ($a = -1$) означает, что парабола $y = x^2$ отражается симметрично относительно оси $Ox$. В результате получается парабола $y = -x^2$, ветви которой направлены вниз. Вершина остается в точке $(0, 0)$.
2. Член $(x - 3)$ означает сдвиг графика вправо на $h=3$ единицы по оси $Ox$. После этого преобразования мы получаем график функции $y = -(x - 3)^2$. Вершина перемещается в точку $(3, 0)$.
3. Член $+5$ означает сдвиг графика вверх на $k=5$ единиц по оси $Oy$. Вершина параболы перемещается из точки $(3, 0)$ в точку $(3, 5)$.

Таким образом, для построения графика функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ нужно взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить следующие действия:

• Отразить его симметрично относительно оси $Ox$, чтобы ветви были направлены вниз.
• Сдвинуть полученную параболу по оси $Ox$ на 3 единицы вправо.
• Сдвинуть ее по оси $Oy$ на 5 единиц вверх.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(3, 5)$, осью симметрии $x = 3$ и ветвями, направленными вниз (так как $a=-1 < 0$).

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс, сдвига на 3 единицы вправо по оси абсцисс и на 5 единиц вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(3, 5)$.

141. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции:

а) у = (x + 3)² – 4;

б) у = –(x + 4)² – 2.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

Для построения графика функции $y = (x + 3)^2 - 4$ мы будем использовать последовательные геометрические преобразования графика стандартной параболы $y = x^2$.

1. Исходным графиком является парабола $y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх.

2. Следующий шаг — построение графика функции $y = (x + 3)^2$. Согласно правилу преобразования графиков $f(x) \rightarrow f(x+a)$, график функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Вершина параболы при этом перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

3. Заключительный шаг — построение графика функции $y = (x + 3)^2 - 4$. Согласно правилу преобразования $f(x) \rightarrow f(x) - b$, этот график получается из графика $y = (x + 3)^2$ путем сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы смещается из точки $(-3, 0)$ в точку $(-3, -4)$.

Таким образом, искомый график — это парабола, форма которой идентична параболе $y = x^2$, с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(-3, -4)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x + 3)^2 - 4$, необходимо график параболы $y = x^2$ сдвинуть на 3 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина итоговой параболы будет в точке $(-3, -4)$.

б) $y = -(x + 4)^2 - 2$

График функции $y = -(x + 4)^2 - 2$ также строится на основе параболы $y = x^2$ с помощью преобразований.

1. Начинаем с графика базовой параболы $y = x^2$.

2. Первое преобразование связано со знаком "минус" перед скобкой. Строим график функции $y = -x^2$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (Ox). В результате мы получаем параболу с вершиной в точке $(0, 0)$, но ее ветви теперь направлены вниз.

3. Далее строим график функции $y = -(x + 4)^2$. Это преобразование соответствует сдвигу графика $y = -x^2$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$. Ветви по-прежнему направлены вниз.

4. Последний шаг — построение графика функции $y = -(x + 4)^2 - 2$. Этот график получается из графика $y = -(x + 4)^2$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(-4, 0)$ в точку $(-4, -2)$.

Итак, искомый график — это парабола, по форме идентичная параболе $y = x^2$, но с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(-4, -2)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -(x + 4)^2 - 2$, необходимо график параболы $y = x^2$ отразить симметрично относительно оси Ox, затем сдвинуть на 4 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина полученной параболы будет в точке $(-4, -2)$, а ее ветви направлены вниз.

142. Найдите нули функции (если они существуют):

а) у = 12x² – 3;

б) у = 6x² + 4;

в) у = –x² – 4.

а) Чтобы найти нули функции, нужно приравнять значение функции $y$ к нулю. Для функции $y = 12x^2 - 3$ получаем уравнение:
$12x^2 - 3 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$12x^2 = 3$
Разделим обе части на 12:
$x^2 = \frac{3}{12}$
Сократим дробь:
$x^2 = \frac{1}{4}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
Таким образом, функция имеет два нуля:
$x_1 = \frac{1}{2} = 0.5$ и $x_2 = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Ответ: $-0.5; 0.5$.

б) Найдем нули функции $y = 6x^2 + 4$. Приравняем $y$ к нулю:
$6x^2 + 4 = 0$
Перенесем свободный член в правую часть:
$6x^2 = -4$
Разделим обе части на 6:
$x^2 = -\frac{4}{6}$
$x^2 = -\frac{2}{3}$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$ для любого $x \in \mathbb{R}$). Поскольку правая часть уравнения отрицательна, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

в) Найдем нули функции $y = -x^2 - 4$. Приравняем $y$ к нулю:
$-x^2 - 4 = 0$
Перенесем $-x^2$ в правую часть (или умножим все на -1 и перенесем 4):
$-4 = x^2$
$x^2 = -4$
Аналогично предыдущему пункту, квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Уравнение не имеет действительных корней, следовательно, у данной функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

143. При каких значениях a функция у = ax² – 5 имеет нули?

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ функция $y = ax^2 - 5$ имеет нули, необходимо найти условия, при которых уравнение $ax^2 - 5 = 0$ имеет хотя бы одно решение.

Приравняем функцию к нулю:

$ax^2 - 5 = 0$

Выразим член с переменной $x$:

$ax^2 = 5$

Рассмотрим два случая для параметра $a$:

1. Если $a = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x^2 = 5$, что равносильно $0 = 5$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений, и функция не имеет нулей. В этом случае функция представляет собой прямую $y = -5$, которая параллельна оси абсцисс и не пересекает её.

2. Если $a \ne 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$x^2 = \frac{5}{a}$

Это уравнение имеет действительные корни для $x$ тогда и только тогда, когда выражение в правой части неотрицательно, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

$\frac{5}{a} \ge 0$

Поскольку числитель $5$ — положительное число, для выполнения этого неравенства знаменатель $a$ также должен быть положительным. Если бы $a$ был отрицательным, то вся дробь была бы отрицательной, и уравнение не имело бы действительных корней.

Следовательно, должно выполняться условие $a > 0$.

Таким образом, функция $y = ax^2 - 5$ имеет нули (два различных корня $x = \pm\sqrt{\frac{5}{a}}$) только при $a > 0$.

Ответ: $a > 0$.

144. На рисунке 27 изображены графики функций:

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

Для того чтобы сопоставить каждой формуле соответствующий график, проанализируем каждую функцию. Все функции являются квадратичными, и их графики — параболы. Общий вид уравнения параболы в вершинной форме: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ — координаты вершины параболы. Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей: если $a > 0$, ветви направлены вверх, если $a < 0$ — вниз.

а) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$

Это уравнение параболы. Коэффициент $a = -\frac{1}{3}$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Уравнение можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - (-4))^2 + 0$. Отсюда следует, что координаты вершины параболы $(h; k) = (-4; 0)$. На рисунке этому описанию соответствует синяя парабола, вершина которой находится на оси абсцисс в точке $(-4; 0)$.

Ответ: формула $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ соответствует синей параболе с вершиной в точке $(-4; 0)$.

б) $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$

Это уравнение параболы. Коэффициент $a = \frac{1}{3}$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Координаты вершины $(h; k) = (4; -1)$. На рисунке этому описанию соответствует синяя парабола, вершина которой находится в точке $(4; -1)$.

Ответ: формула $y = \frac{1}{3}(x - 4)^2 - 1$ соответствует синей параболе с вершиной в точке $(4; -1)$.

в) $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$

Это уравнение параболы, которое можно представить в виде $y = \frac{1}{3}(x - 0)^2 + 4$. Коэффициент $a = \frac{1}{3} > 0$, следовательно, ветви направлены вверх. Координаты вершины $(h; k) = (0; 4)$. На рисунке этому описанию соответствует черная парабола, вершина которой находится на оси ординат в точке $(0; 4)$.

Ответ: формула $y = \frac{1}{3}x^2 + 4$ соответствует черной параболе с вершиной в точке $(0; 4)$.

г) $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$

Это уравнение параболы, которое можно представить в виде $y = -\frac{1}{3}(x - 0)^2 - 2$. Коэффициент $a = -\frac{1}{3} < 0$, следовательно, ветви направлены вниз. Координаты вершины $(h; k) = (0; -2)$. На рисунке этому описанию соответствует черная парабола, вершина которой находится на оси ординат в точке $(0; -2)$.

Ответ: формула $y = -\frac{1}{3}x^2 - 2$ соответствует черной параболе с вершиной в точке $(0; -2)$.

145. На рисунке 28 изображён график функции f(x) = a (x + b)². Найдите f(38).

Функция задана уравнением $f(x) = a(x + b)^2$. Это уравнение параболы, график которой получается сдвигом графика функции $y=ax^2$ вдоль оси абсцисс. Вершина такой параболы находится в точке с координатами $(-b, 0)$.

По графику определяем координаты вершины параболы. Вершина находится в точке $(-2, 0)$.

Следовательно, абсцисса вершины $x_v = -2$. Так как $x_v = -b$, получаем:

$-b = -2$

$b = 2$

Теперь уравнение функции имеет вид $f(x) = a(x + 2)^2$.

Для нахождения коэффициента $a$ выберем на графике еще одну точку с легко читаемыми координатами. Например, график проходит через точку $(0, 1)$. Подставим координаты этой точки ($x=0$, $y=1$) в уравнение функции:

$1 = a(0 + 2)^2$

$1 = a \cdot 4$

$a = \frac{1}{4}$

Таким образом, мы определили все параметры функции. Ее уравнение:

$f(x) = \frac{1}{4}(x + 2)^2$

Теперь найдем значение функции при $x = 38$:

$f(38) = \frac{1}{4}(38 + 2)^2 = \frac{1}{4}(40)^2 = \frac{1}{4} \cdot 1600 = 400$

Ответ: 400

146. На рисунке 29 изображён график функции f(x) = ax² – b. Найдите, при каком значении x значение функции равно 68.

Заданная функция имеет вид $f(x) = ax^2 - b$. График этой функции — парабола, симметричная относительно оси $y$, с вершиной в точке $(0, -b)$.

Для нахождения коэффициентов $a$ и $b$ воспользуемся данными с графика (Рис. 29).

1. Определим координаты вершины параболы. По графику видно, что самая нижняя точка параболы (ее вершина) имеет координаты $(0, -4)$. Так как координаты вершины для нашей функции равны $(0, -b)$, мы можем составить уравнение:$-b = -4$Отсюда получаем, что $b = 4$.

Теперь уравнение функции принимает вид $f(x) = ax^2 - 4$.

2. Для определения коэффициента $a$ выберем на графике любую другую точку с легко читаемыми целочисленными координатами. Например, график проходит через точку $(2, 0)$. Подставим координаты этой точки ($x=2$, $f(x)=0$) в полученное уравнение функции:$0 = a \cdot (2)^2 - 4$$0 = 4a - 4$$4a = 4$$a = 1$

Таким образом, искомая функция имеет вид $f(x) = x^2 - 4$.

3. Теперь найдем значение $x$, при котором значение функции равно 68. Для этого решим уравнение:$f(x) = 68$$x^2 - 4 = 68$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:$x^2 = 68 + 4$$x^2 = 72$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:$x = \pm\sqrt{72}$

Упростим корень из 72, разложив подкоренное выражение на множители:$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

Следовательно, получаем два значения для $x$.

Ответ: $\pm 6\sqrt{2}$