Страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

126. Найдите координаты точек пересечения графиков функций у = –х² и у = 2х – 3. Выполните графическую иллюстрацию.

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций $y = -x^2$ и $y = 2x - 3$, необходимо приравнять их правые части, так как в точках пересечения значения $y$ и $x$ у обеих функций совпадают.

Приравниваем выражения для $y$:

$-x^2 = 2x - 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 2x - 3 = 0$

Это уравнение можно решить, найдя его корни. Воспользуемся методом разложения на множители. Нам нужны два числа, произведение которых равно $-3$, а сумма равна $-2$ (противоположна коэффициенту при $x$). Эти числа — $1$ и $-3$. Однако, в уравнении $x^2 + 2x - 3 = 0$ сумма корней должна быть $-2$, а произведение $-3$. Это числа $-3$ и $1$.

$(x + 3)(x - 1) = 0$

Отсюда находим два возможных значения $x$:

$x_1 = -3$

$x_2 = 1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого из найденных $x$, подставив их в любую из исходных функций. Удобнее использовать $y = -x^2$.

Для $x_1 = -3$:

$y_1 = -(-3)^2 = -(9) = -9$

Первая точка пересечения имеет координаты $(-3, -9)$.

Для $x_2 = 1$:

$y_2 = -(1)^2 = -1$

Вторая точка пересечения имеет координаты $(1, -1)$.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(-3, -9)$ и $(1, -1)$.

Для графической иллюстрации построим графики обеих функций в одной системе координат.

1. График функции $y = -x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз.

2. График функции $y = 2x - 3$ — это прямая линия с угловым коэффициентом $2$ и пересечением оси $y$ в точке $(0, -3)$.

Ответ: Графическая иллюстрация, подтверждающая найденные точки пересечения, представлена выше.

127. Изобразите схематически графики функций у = 0,01х² и у = 10х. Графики этих функций имеют общую точку О (0; 0). Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

Изобразите схематически графики функций $y = 0,01x^2$ и $y = 10x$.

Для схематического изображения проанализируем каждую функцию.

График функции $y = 0,01x^2$ — это парабола. Так как коэффициент $a = 0,01$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Поскольку коэффициент $0,01$ — положительное число, меньшее 1, парабола является "широкой" (растянута вдоль оси Ох).

График функции $y = 10x$ — это прямая линия. Это прямая пропорциональность, поэтому график проходит через начало координат $(0; 0)$. Угловой коэффициент $k = 10$ положителен и достаточно велик, поэтому прямая является "крутой", то есть быстро возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Схематически на координатной плоскости это будет выглядеть как широкая парабола с вершиной в начале координат, и крутая прямая, также проходящая через начало координат. Кроме точки $(0; 0)$, можно ожидать еще одну точку пересечения в первой координатной четверти.

Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

Чтобы найти координаты общих точек (точек пересечения) графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений: $ \begin{cases} y = 0,01x^2 \\ y = 10x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения их координаты $(x, y)$ совпадают: $0,01x^2 = 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $0,01x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(0,01x - 10) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $0,01x - 10 = 0$.

Решим второе уравнение: $0,01x = 10$ $x_2 = \frac{10}{0,01} = 1000$

Мы нашли абсциссы двух точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1000$. Теперь найдем соответствующие им ординаты, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = 10x$.

Для $x_1 = 0$: $y_1 = 10 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения — $O(0; 0)$, что совпадает с информацией из условия задачи.

Для $x_2 = 1000$: $y_2 = 10 \cdot 1000 = 10000$. Вторая точка пересечения имеет координаты $(1000; 10000)$.

Следовательно, графики функций, кроме начала координат, имеют еще одну общую точку.

Ответ: Да, графики имеют другую общую точку. Ее координаты: $(1000; 10000)$.

128. При каких значениях k прямая у = kx – 4 имеет с параболой у = х² только одну общую точку?

Для того чтобы найти значения параметра $k$, при которых прямая $y = kx - 4$ и парабола $y = x^2$ имеют ровно одну общую точку, необходимо найти условия, при которых система уравнений имеет единственное решение.

$ \begin{cases} y = kx - 4 \\ y = x^2 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы $x$ точек пересечения:

$x^2 = kx - 4$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $x$:

$x^2 - kx + 4 = 0$

Графики функций имеют одну общую точку тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один корень. Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант $D$ равен нулю.

Найдем дискриминант этого уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 1$, $b = -k$, $c = 4$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим коэффициенты в формулу:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное уравнение относительно $k$:

$k^2 - 16 = 0$

Это неполное квадратное уравнение, которое можно решить, перенеся 16 в правую часть:

$k^2 = 16$

Отсюда находим значения $k$:

$k = \pm\sqrt{16}$

$k_1 = 4$

$k_2 = -4$

Следовательно, при $k = 4$ и $k = -4$ прямая $y = kx - 4$ касается параболы $y = x^2$, то есть имеет с ней только одну общую точку.

Ответ: $k = -4$ и $k = 4$.

129. Площадь круга S (см²) вычисляется по формуле S = πr², где r (см) — радиус круга. Постройте график функции S = πr² и найдите по графику:

а) площадь круга, если его радиус равен 1,3 см; 0,8 см; 2,1 см;

б) радиус круга, площадь которого равна 1,8 см²; 2,5 см²; 6,5 см².

Для решения задачи сначала построим график функции $S = \pi r^2$, где $S$ — площадь круга, а $r$ — его радиус. Поскольку радиус не может быть отрицательным ($r \ge 0$), мы будем строить график только в первой координатной четверти. Для построения возьмем несколько значений $r$, вычислим соответствующие значения $S$, используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$.

Составим таблицу значений:

• При $r = 0$, $S = 3,14 \cdot 0^2 = 0$.
• При $r = 0,5$, $S = 3,14 \cdot (0,5)^2 = 3,14 \cdot 0,25 \approx 0,8$.
• При $r = 1$, $S = 3,14 \cdot 1^2 = 3,14$.
• При $r = 1,5$, $S = 3,14 \cdot (1,5)^2 = 3,14 \cdot 2,25 \approx 7,1$.
• При $r = 2$, $S = 3,14 \cdot 2^2 = 3,14 \cdot 4 = 12,56$.
• При $r = 2,5$, $S = 3,14 \cdot (2,5)^2 = 3,14 \cdot 6,25 \approx 19,6$.

Теперь построим график. Отложим на горизонтальной оси (оси абсцисс) значения радиуса $r$ (в см), а на вертикальной оси (оси ординат) — значения площади $S$ (в см?). Отметим на координатной плоскости точки с координатами $(0; 0)$, $(0,5; 0,8)$, $(1; 3,14)$, $(1,5; 7,1)$, $(2; 12,56)$, $(2,5; 19,6)$ и соединим их плавной кривой. Полученный график является ветвью параболы.

Теперь найдем по графику требуемые значения.

а)

Чтобы найти площадь круга по известному радиусу, нужно найти на оси абсцисс ($r$) заданное значение, провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат ($S$). Точка пересечения с осью ординат и будет искомым значением площади.

• Если радиус $r = 1,3$ см, находим на оси $r$ значение 1,3. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 5,3$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (1,3)^2 = 1,69\pi \approx 5,31$ см?)
• Если радиус $r = 0,8$ см, находим на оси $r$ значение 0,8. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 2,0$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (0,8)^2 = 0,64\pi \approx 2,01$ см?)
• Если радиус $r = 2,1$ см, находим на оси $r$ значение 2,1. Поднимаемся до графика и движемся влево к оси $S$. Получаем, что площадь $S \approx 13,8$ см?. (Проверка: $S = \pi \cdot (2,1)^2 = 4,41\pi \approx 13,85$ см?)

Ответ: при $r = 1,3$ см, $S \approx 5,3$ см?; при $r = 0,8$ см, $S \approx 2,0$ см?; при $r = 2,1$ см, $S \approx 13,8$ см?.

б)

Чтобы найти радиус круга по известной площади, нужно выполнить обратную операцию: найти на оси ординат ($S$) заданное значение, провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем от точки пересечения провести вертикальную линию до оси абсцисс ($r$). Точка пересечения с осью абсцисс и будет искомым значением радиуса.

• Если площадь $S = 1,8$ см?, находим на оси $S$ значение 1,8. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 0,8$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{1,8/\pi} \approx \sqrt{0,573} \approx 0,76$ см)
• Если площадь $S = 2,5$ см?, находим на оси $S$ значение 2,5. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 0,9$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{2,5/\pi} \approx \sqrt{0,796} \approx 0,89$ см)
• Если площадь $S = 6,5$ см?, находим на оси $S$ значение 6,5. Движемся вправо до графика и опускаемся на ось $r$. Получаем, что радиус $r \approx 1,4$ см. (Проверка: $r = \sqrt{S/\pi} = \sqrt{6,5/\pi} \approx \sqrt{2,07} \approx 1,44$ см)

Ответ: при $S = 1,8$ см?, $r \approx 0,8$ см; при $S = 2,5$ см?, $r \approx 0,9$ см; при $S = 6,5$ см?, $r \approx 1,4$ см.

130. Площадь поверхности куба у (см²) зависит от ребра куба х (см). Задайте эту зависимость формулой. Постройте её график и найдите по графику:

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см²; 10 см²; 14 см².

Площадь поверхности куба $y$ состоит из суммы площадей шести его граней. Каждая грань представляет собой квадрат со стороной, равной длине ребра куба $x$. Площадь одной такой грани равна $x^2$.

Таким образом, зависимость площади поверхности куба от длины его ребра задается формулой:

$y = 6x^2$

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Поскольку длина ребра $x$ не может быть отрицательной ($x \ge 0$), мы рассматриваем только ту часть графика, которая находится в первой координатной четверти.

Для построения графика составим таблицу значений, выбрав несколько значений для $x$ и вычислив соответствующие значения $y$:

Нанеся эти точки на координатную плоскость (ось абсцисс — $x$, ось ординат — $y$) и соединив их плавной кривой, мы получим график данной зависимости. Используя этот график, найдем требуемые значения.

а) площадь поверхности куба, если его ребро равно 0,9 см; 1,5 см; 1,8 см;

Для нахождения площади поверхности по графику, необходимо найти заданное значение длины ребра на оси $x$, подняться от этой точки вертикально до пересечения с параболой, а затем провести горизонтальную линию до пересечения с осью $y$. Полученное значение на оси $y$ и будет искомой площадью.

• Если ребро $x = 0,9$ см, по графику находим соответствующее значение $y \approx 4,9$ см?. (Точный расчет: $y = 6 \cdot (0,9)^2 = 6 \cdot 0,81 = 4,86$ см?).
• Если ребро $x = 1,5$ см, по графику находим $y = 13,5$ см?. (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,5)^2 = 6 \cdot 2,25 = 13,5$ см?).
• Если ребро $x = 1,8$ см, по графику находим $y \approx 19,4$ см?. (Точный расчет: $y = 6 \cdot (1,8)^2 = 6 \cdot 3,24 = 19,44$ см?).

Ответ: при ребре 0,9 см площадь поверхности примерно равна 4,9 см?; при ребре 1,5 см — 13,5 см?; при ребре 1,8 см — примерно 19,4 см?.

б) длину ребра, если площадь поверхности куба равна 7 см?; 10 см?; 14 см?.

Для нахождения длины ребра по известной площади поверхности, необходимо найти заданное значение площади на оси $y$, провести от этой точки горизонтальную линию до пересечения с параболой, а затем опустить перпендикуляр на ось $x$. Полученное значение на оси $x$ и будет искомой длиной ребра.

• Если площадь поверхности $y = 7$ см?, по графику находим, что длина ребра $x \approx 1,1$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{\frac{7}{6}} \approx 1,08$ см).
• Если площадь поверхности $y = 10$ см?, по графику находим, что длина ребра $x \approx 1,3$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{\frac{10}{6}} \approx 1,29$ см).
• Если площадь поверхности $y = 14$ см?, по графику находим, что длина ребра $x \approx 1,5$ см. (Точный расчет: $x = \sqrt{\frac{14}{6}} \approx 1,53$ см).

Ответ: при площади поверхности 7 см? длина ребра примерно равна 1,1 см; при площади 10 см? — примерно 1,3 см; при площади 14 см? — примерно 1,5 см.

131. Сколько корней имеет квадратный трёхчлен:

Чтобы определить количество корней квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$, необходимо найти его дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

• Если $D > 0$, трёхчлен имеет два различных действительных корня.
• Если $D = 0$, трёхчлен имеет один действительный корень (или два совпадающих корня).
• Если $D < 0$, трёхчлен не имеет действительных корней.

а) Для трёхчлена $3x^2 - 8x + 2$ коэффициенты равны: $a = 3$, $b = -8$, $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 64 - 24 = 40$.

Так как $D = 40 > 0$, квадратный трёхчлен имеет два различных корня.

Ответ: 2 корня.

б) Для трёхчлена $-\frac{1}{2}y^2 + 6y - 18$ коэффициенты равны: $a = -\frac{1}{2}$, $b = 6$, $c = -18$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-18) = 36 - 2 \cdot 18 = 36 - 36 = 0$.

Так как $D = 0$, квадратный трёхчлен имеет один корень.

Ответ: 1 корень.

в) Для трёхчлена $m^2 - 3m + 3$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -3$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$.

Так как $D = -3 < 0$, квадратный трёхчлен не имеет действительных корней.

Ответ: нет корней.

132. Сократите дробь:

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель является квадратным трехчленом $10a^2 - a - 2$.

Для разложения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10a^2 - a - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$10a^2 - a - 2 = 10(a - \frac{1}{2})(a - (-\frac{2}{5})) = 10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5})$.

Для удобства внесем множитель 10 в скобки: $10 = 2 \cdot 5$.

$10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5}) = (2(a - \frac{1}{2}))(5(a + \frac{2}{5})) = (2a - 1)(5a + 2)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2a - 1}{(2a - 1)(5a + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(2a - 1)$:

$\frac{1}{5a + 2}$

Ответ: $\frac{1}{5a + 2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2}$, необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель.

Сначала разложим числитель $6a^2 - 5a + 1$. Найдем корни уравнения $6a^2 - 5a + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Разложим числитель на множители:

$6a^2 - 5a + 1 = 6(a - \frac{1}{2})(a - \frac{1}{3}) = (2 \cdot (a - \frac{1}{2}))(3 \cdot (a - \frac{1}{3})) = (2a - 1)(3a - 1)$.

Теперь разложим знаменатель $1 - 4a^2$. Это разность квадратов $1^2 - (2a)^2$.

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - 4a^2 = (1 - 2a)(1 + 2a)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{(2a - 1)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Заметим, что множители $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ отличаются только знаком: $2a - 1 = -(1 - 2a)$.

$\frac{-(1 - 2a)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Сократим общий множитель $(1 - 2a)$:

$\frac{-(3a - 1)}{1 + 2a} = \frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

133. Решите уравнение (х + 3)² – (х – 3)² = (х – 2)² + (х + 2)² и отметьте его корни на координатной прямой.

Решите уравнение $(x + 3)^2 - (x - 3)^2 = (x - 2)^2 + (x + 2)^2$

Для решения данного уравнения раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала преобразуем левую часть уравнения:

$(x+3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

$(x-3)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 - 6x + 9$

Вычтем второе выражение из первого:

$(x^2 + 6x + 9) - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$

Теперь преобразуем правую часть уравнения:

$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

$(x+2)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$

Сложим полученные выражения:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 4x + 4) = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 4x + 4 = 2x^2 + 8$

Теперь приравняем преобразованные левую и правую части:

$12x = 2x^2 + 8$

Перенесем все члены уравнения в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2x^2 - 12x + 8 = 0$

Для удобства разделим все члены уравнения на 2:

$x^2 - 6x + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью формулы корней $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, где $a=1, b=-6, c=4$.

Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 36 - 16 = 20$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{4 \cdot 5}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2}$

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}$

$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}$

Ответ: $x_1 = 3 + \sqrt{5}, x_2 = 3 - \sqrt{5}$.

Отметьте его корни на координатной прямой

Для того чтобы отметить корни на координатной прямой, оценим их приближенные значения. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, значит $\sqrt{5}$ находится между 2 и 3. Используем приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2.24$.

$x_1 = 3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24$

$x_2 = 3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76$

Теперь отметим эти точки на координатной прямой, подписав их точными значениями.

Ответ: Корни $3 - \sqrt{5}$ и $3 + \sqrt{5}$ отмечены на координатной прямой.