Номер 132, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 132, страница 49.

Условие.

132. Сократите дробь:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{2a - 1}{10a^2 - a - 2}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель является квадратным трехчленом $10a^2 - a - 2$.

Для разложения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $10a^2 - a - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-2) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$a_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 9}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 9}{2 \cdot 10} = \frac{-8}{20} = -\frac{2}{5}$

Используя формулу разложения квадратного трехчлена $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:

$10a^2 - a - 2 = 10(a - \frac{1}{2})(a - (-\frac{2}{5})) = 10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5})$.

Для удобства внесем множитель 10 в скобки: $10 = 2 \cdot 5$.

$10(a - \frac{1}{2})(a + \frac{2}{5}) = (2(a - \frac{1}{2}))(5(a + \frac{2}{5})) = (2a - 1)(5a + 2)$.

Теперь подставим разложенный знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2a - 1}{(2a - 1)(5a + 2)}$

Сокращаем общий множитель $(2a - 1)$:

$\frac{1}{5a + 2}$

Ответ: $\frac{1}{5a + 2}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{6a^2 - 5a + 1}{1 - 4a^2}$, необходимо разложить на множители и числитель, и знаменатель.

Сначала разложим числитель $6a^2 - 5a + 1$. Найдем корни уравнения $6a^2 - 5a + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 = 1^2$.

Найдем корни:

$a_1 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{5 - 1}{2 \cdot 6} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Разложим числитель на множители:

$6a^2 - 5a + 1 = 6(a - \frac{1}{2})(a - \frac{1}{3}) = (2 \cdot (a - \frac{1}{2}))(3 \cdot (a - \frac{1}{3})) = (2a - 1)(3a - 1)$.

Теперь разложим знаменатель $1 - 4a^2$. Это разность квадратов $1^2 - (2a)^2$.

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$1 - 4a^2 = (1 - 2a)(1 + 2a)$.

Подставим разложенные числитель и знаменатель в дробь:

$\frac{(2a - 1)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Заметим, что множители $(2a - 1)$ и $(1 - 2a)$ отличаются только знаком: $2a - 1 = -(1 - 2a)$.

$\frac{-(1 - 2a)(3a - 1)}{(1 - 2a)(1 + 2a)}$

Сократим общий множитель $(1 - 2a)$:

$\frac{-(3a - 1)}{1 + 2a} = \frac{1 - 3a}{1 + 2a}$

Ответ: $\frac{1 - 3a}{1 + 2a}$