Номер 134, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 134, страница 54.

Условие.

134. Изобразите схематически график каждой функции (отметьте вершину параболы и направление её ветвей):

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2$: это парабола, заданная уравнением вида $y = ax^2$. Ее вершина находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{2}$, он положительный ($a > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 + 4$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ путем параллельного переноса (сдвига) на 4 единицы вверх вдоль оси OY. Таким образом, вершина параболы смещается в точку $(0, 4)$. Направление ветвей не меняется, они по-прежнему направлены вверх, так как $a = \frac{1}{2} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, 4)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{2}x^2 - 3$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{2}x^2$ путем сдвига на 3 единицы вниз вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, -3)$. Направление ветвей остается прежним — вверх ($a = \frac{1}{2} > 0$).
Ответ: вершина в точке $(0, -3)$, ветви направлены вверх.

б)

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2$: это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, он отрицательный ($a < 0$), поэтому ветви параболы направлены вниз.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вниз.

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$: график этой функции получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, 2)$. Ветви направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{3} < 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, 2)$, ветви направлены вниз.

Для функции $y = -\frac{1}{3}x^2 - 1$: график этой функции получается из графика $y = -\frac{1}{3}x^2$ сдвигом на 1 единицу вниз вдоль оси OY. Вершина параболы смещается в точку $(0, -1)$. Ветви направлены вниз, так как $a = -\frac{1}{3} < 0$.
Ответ: вершина в точке $(0, -1)$, ветви направлены вниз.

в)

Для функции $y = \frac{1}{5}x^2$: это парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $\frac{1}{5}$, он положительный ($a > 0$), поэтому ветви параболы направлены вверх.
Ответ: вершина в точке $(0, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{5}(x - 3)^2$: это парабола, заданная уравнением вида $y = a(x - h)^2$. Ее график получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси OX. Вершина параболы находится в точке $(3, 0)$. Ветви направлены вверх, так как $a = \frac{1}{5} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(3, 0)$, ветви направлены вверх.

Для функции $y = \frac{1}{5}(x + 3)^2$: график этой функции получается из графика $y = \frac{1}{5}x^2$ сдвигом на 3 единицы влево вдоль оси OX, так как выражение $(x+3)^2$ соответствует сдвигу на $-3$. Вершина параболы находится в точке $(-3, 0)$. Ветви направлены вверх, так как $a = \frac{1}{5} > 0$.
Ответ: вершина в точке $(-3, 0)$, ветви направлены вверх.