Номер 140, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 140, страница 55.

Условие.

140. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции:

а) у = (x – 2)² + 3;

б) у = –(x – 3)² + 5.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = (x - 2)^2 + 3$

График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ является параболой, полученной из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью последовательных преобразований (параллельных переносов).

Общий вид уравнения параболы с вершиной, смещенной из начала координат, таков: $y = a(x - h)^2 + k$, где $(h, k)$ – координаты вершины параболы.

В нашем случае $a=1$, $h=2$ и $k=3$. Это означает следующее:

1. График функции $y = x^2$ (стандартная парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вверх) сдвигается вправо на $h=2$ единицы. Это преобразование соответствует члену $(x - 2)$. После этого сдвига мы получаем график функции $y = (x - 2)^2$. Вершина новой параболы находится в точке $(2, 0)$.
2. Затем полученный график сдвигается вверх на $k=3$ единицы. Это преобразование соответствует члену $+3$. Вершина параболы перемещается из точки $(2, 0)$ в точку $(2, 3)$.

Таким образом, для построения графика функции $y = (x - 2)^2 + 3$ нужно взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить следующие действия:

• Сдвинуть его по оси $Ox$ на 2 единицы вправо.
• Сдвинуть его по оси $Oy$ на 3 единицы вверх.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(2, 3)$, осью симметрии $x = 2$ и ветвями, направленными вверх (так как $a=1 > 0$).

Ответ: График функции $y = (x - 2)^2 + 3$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем сдвига на 2 единицы вправо по оси абсцисс и на 3 единицы вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$.

---

б) $y = -(x - 3)^2 + 5$

График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ также является параболой, полученной из графика $y = x^2$ путем преобразований.

Снова используем форму $y = a(x - h)^2 + k$. В данном случае $a=-1$, $h=3$ и $k=5$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Знак "минус" перед скобкой ($a = -1$) означает, что парабола $y = x^2$ отражается симметрично относительно оси $Ox$. В результате получается парабола $y = -x^2$, ветви которой направлены вниз. Вершина остается в точке $(0, 0)$.
2. Член $(x - 3)$ означает сдвиг графика вправо на $h=3$ единицы по оси $Ox$. После этого преобразования мы получаем график функции $y = -(x - 3)^2$. Вершина перемещается в точку $(3, 0)$.
3. Член $+5$ означает сдвиг графика вверх на $k=5$ единиц по оси $Oy$. Вершина параболы перемещается из точки $(3, 0)$ в точку $(3, 5)$.

Таким образом, для построения графика функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ нужно взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить следующие действия:

• Отразить его симметрично относительно оси $Ox$, чтобы ветви были направлены вниз.
• Сдвинуть полученную параболу по оси $Ox$ на 3 единицы вправо.
• Сдвинуть ее по оси $Oy$ на 5 единиц вверх.

В результате мы получим параболу с вершиной в точке $(3, 5)$, осью симметрии $x = 3$ и ветвями, направленными вниз (так как $a=-1 < 0$).

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2 + 5$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем симметричного отражения относительно оси абсцисс, сдвига на 3 единицы вправо по оси абсцисс и на 5 единиц вверх по оси ординат. Вершина параболы находится в точке $(3, 5)$.