Номер 136, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 136, страница 54.

Условие.

136. Используя шаблон параболы y = x², постройте график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = x^2 + 2$

Для построения графика функции $y = x^2 + 2$, необходимо взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить преобразование. Функция имеет вид $y = f(x) + c$, где $f(x) = x^2$ и $c = 2$. Это соответствует параллельному переносу (сдвигу) графика функции $y = x^2$ вдоль оси ординат (оси OY). Поскольку $c = 2 > 0$, сдвиг выполняется на 2 единицы вверх. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вершина параболы $y = x^2 + 2$ окажется в точке $(0, 2)$. Все остальные точки параболы также сдвигаются на 2 единицы вверх. Ветви параболы по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = x^2 + 2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси OY.

б) $y = -x^2 - 1$

Для построения графика функции $y = -x^2 - 1$ необходимо выполнить два последовательных преобразования шаблона параболы $y = x^2$.
1. Сначала построим график функции $y = -x^2$. Знак "минус" перед $x^2$ означает, что график функции $y = x^2$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX). Ветви полученной параболы будут направлены вниз, а вершина останется в точке $(0, 0)$.
2. Затем выполним преобразование для функции $y = -x^2 - 1$. Это соответствует параллельному переносу графика $y = -x^2$ на 1 единицу вниз вдоль оси OY (так как $c = -1 < 0$).
Вершина параболы $y = -x^2 - 1$ окажется в точке $(0, -1)$, а ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -x^2 - 1$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его симметричного отражения относительно оси OX и последующего сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

в) $y = (x + 4)^2$

Для построения графика функции $y = (x + 4)^2$, необходимо взять шаблон параболы $y = x^2$ и выполнить преобразование. Функцию можно представить в виде $y = (x - (-4))^2$. Это соответствует виду $y = f(x - c)$, где $f(x) = x^2$ и $c = -4$. Это параллельный перенос (сдвиг) графика функции $y = x^2$ вдоль оси абсцисс (оси OX). Поскольку $c = -4 < 0$, сдвиг выполняется на 4 единицы влево. Вершина параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. После сдвига вершина параболы $y = (x + 4)^2$ окажется в точке $(-4, 0)$. Ветви параболы по-прежнему направлены вверх.

Ответ: График функции $y = (x + 4)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 4 единицы влево вдоль оси OX.

г) $y = -(x - 3)^2$

Для построения графика функции $y = -(x - 3)^2$ необходимо выполнить два последовательных преобразования шаблона параболы $y = x^2$.
1. Сначала рассмотрим функцию $y = (x - 3)^2$. Это соответствует сдвигу графика $y = x^2$ на 3 единицы вправо вдоль оси OX (так как $c = 3 > 0$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(3, 0)$.
2. Затем рассмотрим функцию $y = -(x - 3)^2$. Знак "минус" перед скобкой означает, что график функции $y = (x - 3)^2$ нужно симметрично отразить относительно оси абсцисс (оси OX).
В результате вершина параболы останется в точке $(3, 0)$, но ветви будут направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -(x - 3)^2$ получается из графика параболы $y = x^2$ путем его сдвига на 3 единицы вправо вдоль оси OX и последующего симметричного отражения относительно оси OX.