Номер 141, страница 55 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 141, страница 55.

Условие.

141. С помощью шаблона параболы y = x² постройте график функции:

а) у = (x + 3)² – 4;

б) у = –(x + 4)² – 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = (x + 3)^2 - 4$

Для построения графика функции $y = (x + 3)^2 - 4$ мы будем использовать последовательные геометрические преобразования графика стандартной параболы $y = x^2$.

1. Исходным графиком является парабола $y = x^2$. Это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$, и ветвями, направленными вверх.

2. Следующий шаг — построение графика функции $y = (x + 3)^2$. Согласно правилу преобразования графиков $f(x) \rightarrow f(x+a)$, график функции $y = (x + 3)^2$ получается из графика $y = x^2$ путем сдвига на 3 единицы влево вдоль оси абсцисс (Ox). Вершина параболы при этом перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-3, 0)$.

3. Заключительный шаг — построение графика функции $y = (x + 3)^2 - 4$. Согласно правилу преобразования $f(x) \rightarrow f(x) - b$, этот график получается из графика $y = (x + 3)^2$ путем сдвига на 4 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Вершина параболы смещается из точки $(-3, 0)$ в точку $(-3, -4)$.

Таким образом, искомый график — это парабола, форма которой идентична параболе $y = x^2$, с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(-3, -4)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = (x + 3)^2 - 4$, необходимо график параболы $y = x^2$ сдвинуть на 3 единицы влево по оси Ox и на 4 единицы вниз по оси Oy. Вершина итоговой параболы будет в точке $(-3, -4)$.

б) $y = -(x + 4)^2 - 2$

График функции $y = -(x + 4)^2 - 2$ также строится на основе параболы $y = x^2$ с помощью преобразований.

1. Начинаем с графика базовой параболы $y = x^2$.

2. Первое преобразование связано со знаком "минус" перед скобкой. Строим график функции $y = -x^2$. Это преобразование соответствует симметричному отражению графика $y = x^2$ относительно оси абсцисс (Ox). В результате мы получаем параболу с вершиной в точке $(0, 0)$, но ее ветви теперь направлены вниз.

3. Далее строим график функции $y = -(x + 4)^2$. Это преобразование соответствует сдвигу графика $y = -x^2$ на 4 единицы влево вдоль оси Ox. Вершина параболы перемещается из точки $(0, 0)$ в точку $(-4, 0)$. Ветви по-прежнему направлены вниз.

4. Последний шаг — построение графика функции $y = -(x + 4)^2 - 2$. Этот график получается из графика $y = -(x + 4)^2$ путем сдвига на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина параболы перемещается из точки $(-4, 0)$ в точку $(-4, -2)$.

Итак, искомый график — это парабола, по форме идентичная параболе $y = x^2$, но с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке $(-4, -2)$.

Ответ: Чтобы построить график функции $y = -(x + 4)^2 - 2$, необходимо график параболы $y = x^2$ отразить симметрично относительно оси Ox, затем сдвинуть на 4 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy. Вершина полученной параболы будет в точке $(-4, -2)$, а ее ветви направлены вниз.