Номер 139, страница 54 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

10. Графики функций у = ах + n и y = a(x -m). Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 139, страница 54.

Условие.

139. Изобразите схематически график функции:

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а)

Графиком квадратичной функции $y = \frac{1}{4}(x - 2)^2 - 3$ является парабола. Уравнение задано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$, что позволяет легко определить ключевые характеристики графика для его схематического построения.

1. Вершина параболы. Координаты вершины определяются значениями $h$ и $k$. В данном случае $h = 2$ и $k = -3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(2, -3)$.

2. Направление ветвей. Направление ветвей параболы зависит от знака коэффициента $a$. Здесь $a = \frac{1}{4}$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

3. Форма параболы. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{4}$. Так как $0 < |a| < 1$, парабола будет "шире" (вертикально сжата) по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = 2$.

4. Точки для построения. Для построения схематического графика найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$). Для этого подставим $x=0$ в уравнение:
$y(0) = \frac{1}{4}(0 - 2)^2 - 3 = \frac{1}{4}(4) - 3 = 1 - 3 = -2$.
График проходит через точку $(0, -2)$. Точка, симметричная $(0, -2)$ относительно оси симметрии $x=2$, будет иметь координаты $(4, -2)$.

Для построения схематического графика нужно отметить вершину в точке $(2, -3)$ и построить параболу с ветвями вверх, проходящую через точки $(0, -2)$ и $(4, -2)$.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(2, -3)$ и ветвями, направленными вверх.

б)

Графиком квадратичной функции $y = -\frac{1}{4}(x + 2)^2 + 3$ является парабола. Уравнение задано в вершинной форме $y = a(x - h)^2 + k$.

1. Вершина параболы. Уравнение можно представить в виде $y = -\frac{1}{4}(x - (-2))^2 + 3$. Отсюда $h = -2$ и $k = 3$. Следовательно, вершина параболы находится в точке $(-2, 3)$.

2. Направление ветвей. Коэффициент $a = -\frac{1}{4}$. Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

3. Форма параболы. Модуль коэффициента $|a| = \frac{1}{4}$. Так как $0 < |a| < 1$, парабола будет "шире" (вертикально сжата) по сравнению со стандартной параболой $y = x^2$. Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая $x = -2$.

4. Точки для построения. Найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), подставив $x=0$ в уравнение:
$y(0) = -\frac{1}{4}(0 + 2)^2 + 3 = -\frac{1}{4}(4) + 3 = -1 + 3 = 2$.
График проходит через точку $(0, 2)$. Точка, симметричная $(0, 2)$ относительно оси симметрии $x=-2$, будет иметь координаты $(-4, 2)$.

Для построения схематического графика нужно отметить вершину в точке $(-2, 3)$ и построить параболу с ветвями вниз, проходящую через точки $(0, 2)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: График функции — это парабола с вершиной в точке $(-2, 3)$ и ветвями, направленными вниз.