Номер 127, страница 49 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 127, страница 49.

Условие.

127. Изобразите схематически графики функций у = 0,01х² и у = 10х. Графики этих функций имеют общую точку О (0; 0). Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Изобразите схематически графики функций $y = 0,01x^2$ и $y = 10x$.

Для схематического изображения проанализируем каждую функцию.

График функции $y = 0,01x^2$ — это парабола. Так как коэффициент $a = 0,01$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Поскольку коэффициент $0,01$ — положительное число, меньшее 1, парабола является "широкой" (растянута вдоль оси Ох).

График функции $y = 10x$ — это прямая линия. Это прямая пропорциональность, поэтому график проходит через начало координат $(0; 0)$. Угловой коэффициент $k = 10$ положителен и достаточно велик, поэтому прямая является "крутой", то есть быстро возрастает и расположена в I и III координатных четвертях.

Схематически на координатной плоскости это будет выглядеть как широкая парабола с вершиной в начале координат, и крутая прямая, также проходящая через начало координат. Кроме точки $(0; 0)$, можно ожидать еще одну точку пересечения в первой координатной четверти.

Имеют ли графики этих функций другие общие точки? При положительном ответе найдите координаты этих точек.

Чтобы найти координаты общих точек (точек пересечения) графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений: $ \begin{cases} y = 0,01x^2 \\ y = 10x \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений, так как в точках пересечения их координаты $(x, y)$ совпадают: $0,01x^2 = 10x$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: $0,01x^2 - 10x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(0,01x - 10) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $x$: $x_1 = 0$ или $0,01x - 10 = 0$.

Решим второе уравнение: $0,01x = 10$ $x_2 = \frac{10}{0,01} = 1000$

Мы нашли абсциссы двух точек пересечения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1000$. Теперь найдем соответствующие им ординаты, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Проще всего использовать уравнение прямой $y = 10x$.

Для $x_1 = 0$: $y_1 = 10 \cdot 0 = 0$. Первая точка пересечения — $O(0; 0)$, что совпадает с информацией из условия задачи.

Для $x_2 = 1000$: $y_2 = 10 \cdot 1000 = 10000$. Вторая точка пересечения имеет координаты $(1000; 10000)$.

Следовательно, графики функций, кроме начала координат, имеют еще одну общую точку.

Ответ: Да, графики имеют другую общую точку. Ее координаты: $(1000; 10000)$.