Номер 122, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 122, страница 48.

Условие.

122. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:

а) у = –1,5х²;

б) у = 0,8х².

Перечислите свойства этой функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = -1,5x^2$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2$, ее график — парабола.

Схематическое расположение графика:

График функции — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1,5$.

• Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Поскольку $|a| = |-1,5| = 1,5 > 1$, парабола "сжата" к оси Oy, то есть она более крутая по сравнению с эталонной параболой $y = -x^2$.
• График расположен в III и IV координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неположительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -1,5(-x)^2 = -1,5x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Точка максимума — $(0, 0)$. Минимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = -1,5x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Она расположена в III и IV четвертях. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, точка максимума — $(0,0)$.

б) $y = 0,8x^2$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2$, ее график — парабола.

Схематическое расположение графика:

График функции — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,8$.

• Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| = |0,8| = 0,8 < 1$, парабола "сжата" к оси Ox, то есть она более широкая (пологая) по сравнению с эталонной параболой $y = x^2$.
• График расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = 0,8(-x)^2 = 0,8x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Точка минимума — $(0, 0)$. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = 0,8x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Она расположена в I и II четвертях. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума — $(0,0)$.