Номер 119, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 119, страница 48.

Условие.

119. Постройте график функции у = –2х² и найдите:

а) значение у при х = –1,5; 0,6; 1,5;

б) значения х, при которых у = –1; –3; –4,5;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для построения графика функции $y = -2x^2$ сначала определим его основные свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка $(1, -2)$.
• при $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• при $x = 1,5$, $y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$. Точка $(1,5; -4,5)$.
• при $x = -1,5$, $y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$. Точка $(-1,5; -4,5)$.
• при $x = 2$, $y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка $(2, -8)$.
• при $x = -2$, $y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы $y = -2x^2$.

Теперь, используя график и формулу, найдем требуемые значения.

а) значение у при x = -1,5; 0,6; 1,5;
Для нахождения значений $y$ подставим данные значения $x$ в формулу функции $y = -2x^2$:
- При $x = -1,5$: $y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$.
- При $x = 0,6$: $y = -2 \cdot (0,6)^2 = -2 \cdot 0,36 = -0,72$.
- При $x = 1,5$: $y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$.

Ответ: при $x = -1,5$, $y = -4,5$; при $x = 0,6$, $y = -0,72$; при $x = 1,5$, $y = -4,5$.

б) значения x, при которых y = -1; -3; -4,5;
Для нахождения значений $x$ подставим данные значения $y$ в формулу $y = -2x^2$ и решим получившиеся уравнения:
- При $y = -1$:
$-1 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-1}{-2} = 0,5$
$x = \pm\sqrt{0,5} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- При $y = -3$:
$-3 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-3}{-2} = 1,5$
$x = \pm\sqrt{1,5} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.
- При $y = -4,5$:
$-4,5 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-4,5}{-2} = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25} = \pm1,5$.

Ответ: при $y = -1$, $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$; при $y = -3$, $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$; при $y = -4,5$, $x = \pm1,5$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
Функция $y = -2x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.
- Функция возрастает, когда при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Для данной параболы это происходит на промежутке от $-\infty$ до вершины. Таким образом, функция возрастает при $x \in (-\infty, 0]$.
- Функция убывает, когда при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Это происходит на промежутке от вершины до $+\infty$. Таким образом, функция убывает при $x \in [0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.