Номер 118, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 118, страница 48.

Условие.

118. Постройте график функции y = $\frac{1}{4}$х². Найдите:

а) значение у при х = –2,5; –1,5; 3,5;

б) значения х, при которых у = 5; 3; 2;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Графиком функции $y = \frac{1}{4}x^2$ является парабола. Так как коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^2 = \frac{1}{4}x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика составим таблицу значений:

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	4	2.25	1	0.25	0	0.25	1	2.25	4

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы.

а) значение y при x = -2,5; -1,5; 3,5;

Для нахождения значений $y$ подставим соответствующие значения $x$ в уравнение функции $y = \frac{1}{4}x^2$.

При $x = -2.5$: $y = \frac{1}{4}(-2.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 6.25 = 1.5625$.

При $x = -1.5$: $y = \frac{1}{4}(-1.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 2.25 = 0.5625$.

При $x = 3.5$: $y = \frac{1}{4}(3.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 12.25 = 3.0625$.

Ответ: при $x=-2.5$ $y=1.5625$; при $x=-1.5$ $y=0.5625$; при $x=3.5$ $y=3.0625$.

б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;

Для нахождения значений $x$ решим уравнение $y = \frac{1}{4}x^2$ относительно $x$.

Из уравнения следует, что $x^2 = 4y$, значит $x = \pm\sqrt{4y} = \pm2\sqrt{y}$.

При $y = 5$: $x = \pm2\sqrt{5}$.

При $y = 3$: $x = \pm2\sqrt{3}$.

При $y = 2$: $x = \pm2\sqrt{2}$.

Ответ: $y=5$ при $x = \pm2\sqrt{5}$; $y=3$ при $x = \pm2\sqrt{3}$; $y=2$ при $x = \pm2\sqrt{2}$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция вида $y=ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке, где $x$ изменяется от $-\infty$ до 0, и возрастает на промежутке, где $x$ изменяется от 0 до $+\infty$. Точка $x=0$ является точкой минимума.

Для функции $y = \frac{1}{4}x^2$ имеем:

Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.