Номер 3, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 3, страница 43.

Условие.

3. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции:

Решение 1.

Решение 8.

а) $y = kx, k < 0$

Это линейная функция, называемая также прямой пропорциональностью. Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат. Так как угловой коэффициент $k < 0$, функция является убывающей на всей области определения. Угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox — тупой.

Для иллюстрации построим график функции $y = -x$ (здесь $k=-1$).

Основные свойства функции:

• Область определения: множество всех действительных чисел, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: множество всех действительных чисел, $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция монотонно убывает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=kx$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

б) $y = kx + b, k > 0, b < 0$

Это линейная функция. Её график — прямая линия. Поскольку угловой коэффициент $k > 0$, функция является возрастающей. Поскольку свободный член $b < 0$, прямая пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.

Для иллюстрации построим график функции $y = x - 2$ (здесь $k=1, b=-2$).

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция общего вида (ни четная, ни нечетная), так как $y(-x) = -kx+b \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x)$.
• Нули функции: $y=0$ при $kx+b=0$, то есть $x = -b/k$. Так как $k>0, b<0$, то $-b/k > 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-b/k; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -b/k)$.
• Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения $(-\infty; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=kx+b$ при $k>0, b<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

в) $y = \frac{k}{x}, k < 0$

Это функция обратной пропорциональности. Её график — гипербола. Поскольку $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Для иллюстрации построим график функции $y = -\frac{1}{x}$ (здесь $k=-1$).

Основные свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, кроме $x=0$. $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: все действительные числа, кроме $y=0$. $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = \frac{k}{-x} = -\frac{k}{x} = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Экстремумы: отсутствуют.
• Асимптоты: горизонтальная асимптота $y=0$ (ось Ox) и вертикальная асимптота $x=0$ (ось Oy).
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения, имеет разрыв в точке $x=0$.

Ответ: Свойства функции $y=\frac{k}{x}$ при $k<0$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

г) $y = x^2$

Это квадратичная функция. Её график — парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в начале координат.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = (-x)^2 = x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^2$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

д) $y = x^3$

Это кубическая функция. Её график — кубическая парабола, проходящая через начало координат.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция нечетная, так как $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.
• Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения.
• Экстремумы: отсутствуют. Точка $(0;0)$ является точкой перегиба.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=x^3$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

е) $y = \sqrt{x}$

Это степенная функция с показателем $\frac{1}{2}$. Её график — ветвь параболы, симметричной относительно прямой $y=x$ параболе $y=x^2$ (при $x \ge 0$).

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = [0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция общего вида, так как область определения несимметрична относительно нуля.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y=0$ при $x=0$.
• Монотонность: функция монотонно возрастает на всей области определения.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=\sqrt{x}$ перечислены и проиллюстрированы выше.

---

ж) $y = |x|$

Это функция модуля (абсолютной величины). Её график состоит из двух лучей, выходящих из начала координат и являющихся биссектрисами I и II координатных углов.

Основные свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$.
• Четность: функция четная, так как $y(-x) = |-x| = |x| = y(x)$. График симметричен относительно оси Oy.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \neq 0$; $y=0$ при $x=0$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция имеет минимум, $y_{min} = 0$.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: Свойства функции $y=|x|$ перечислены и проиллюстрированы выше.