Номер 113, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Графики и свойства некоторых видов функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 113, страница 41.

Условие.

113. Используя график функции y = x³, решите уравнение:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы решить уравнение $x^3 = x + 1$ графически, необходимо найти абсциссы точек пересечения графиков двух функций: $y = x^3$ и $y = x + 1$.

Сначала построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая является нечетной функцией (симметрична относительно начала координат) и проходит через ключевые точки: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

Затем в той же системе координат построим график функции $y = x + 1$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, 1)$ (пересечение с осью OY) и $(-1, 0)$ (пересечение с осью OX).

Наложив графики друг на друга, мы увидим, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка лежит в первой координатной четверти. Абсцисса (координата $x$) этой точки и является решением уравнения. Визуально можно определить, что абсцисса находится между 1 и 1.5. Более точная оценка дает значение примерно 1.3.

Ответ: $x \approx 1.3$.

б) Для решения уравнения $x^3 = 2x$ воспользуемся графическим методом. Для этого рассмотрим пересечение графиков функций $y = x^3$ и $y = 2x$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, описанная в предыдущем пункте.

График функции $y = 2x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом 2. Для построения можно также использовать точку $(1, 2)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в трех точках. Абсциссы этих точек являются корнями исходного уравнения.

1. Одна точка пересечения — это начало координат $(0, 0)$. Следовательно, первый корень — $x_1 = 0$.

2. Вторая точка пересечения находится в первом квадранте. Ее абсцисса приблизительно равна $1.4$. (Точное значение этого корня $x_2 = \sqrt{2}$).

3. Третья точка пересечения находится в третьем квадранте. Так как обе функции ($y=x^3$ и $y=2x$) являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому абсцисса третьей точки пересечения будет противоположна абсциссе второй точки: $x_3 \approx -1.4$. (Точное значение этого корня $x_3 = -\sqrt{2}$).

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 \approx 1.4$, $x_3 \approx -1.4$.

в) Решим уравнение $x^3 = 2x + 1$ графически. Для этого найдем точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = 2x + 1$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая линия, параллельная прямой $y=2x$ из предыдущего пункта, но смещенная на 1 единицу вверх. Она проходит через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что они пересекаются в трех точках, следовательно, уравнение имеет три корня.

1. Одна из точек пересечения имеет целочисленную координату. Легко заметить по графику, что это точка с абсциссой $x_1 = -1$. Проверка подтверждает: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$.

2. Вторая точка пересечения находится в первом квадранте. Её абсцисса больше 1.5, приблизительно $x_2 \approx 1.6$. (Точное значение $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$).

3. Третья точка пересечения находится в отрицательной области, между $-1$ и $0$. Её абсцисса приблизительно $x_3 \approx -0.6$. (Точное значение $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 \approx 1.6$, $x_3 \approx -0.6$.