Страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

111. Изобразите схематически графики функций у = kx, где k ‹ 0, и у = kx, где k › 0. Запишите свойства функции в каждом случае.

Функция $y=kx$ является прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0;0)$. Свойства функции и вид графика зависят от знака коэффициента $k$, который также называют угловым коэффициентом.

Если угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k<0$), то функция является убывающей. График функции образует тупой угол с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Схематический график для случая $k < 0$:

Основные свойства функции $y=kx$ при $k<0$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x < 0$; $y < 0$ при $x > 0$.
• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения.

Ответ: При $k<0$ график функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная во II и IV координатных четвертях. Функция является нечетной и убывающей на всей области определения. $y>0$ при $x \in (-\infty; 0)$ и $y<0$ при $x \in (0; +\infty)$.

Если угловой коэффициент $k$ положителен ($k>0$), то функция является возрастающей. График функции образует острый угол с положительным направлением оси абсцисс (оси $Ox$) и расположен в первой и третьей координатных четвертях.

Схематический график для случая $k > 0$:

Основные свойства функции $y=kx$ при $k>0$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Четность: функция является нечетной, так как $y(-x) = k(-x) = -kx = -y(x)$. Её график симметричен относительно начала координат.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x > 0$; $y < 0$ при $x < 0$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения.

Ответ: При $k>0$ график функции $y=kx$ — это прямая, проходящая через начало координат и расположенная в I и III координатных четвертях. Функция является нечетной и возрастающей на всей области определения. $y>0$ при $x \in (0; +\infty)$ и $y<0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

112. Постройте график функции и опишите её свойства:

а) $y = -3x + 1$

Построение графика:
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$ и свободный член $b = 1$. Графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 1 = -2$. Получаем точку $(1; -2)$.

Проводим прямую через эти две точки. Прямая будет наклонена к оси $Ox$ под тупым углом, так как $k < 0$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любого значения $x$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-3x + 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(\frac{1}{3}; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.
• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как угловой коэффициент $k = -3 < 0$.
• Четность/нечетность: функция общего вида, так как $y(-x) = -3(-x) + 1 = 3x + 1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: График функции – прямая линия, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; -2)$. Функция убывает на всей области определения. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Ноль функции: $x = 1/3$. Функция общего вида.

б) $y = 5 + 2x$

Построение графика:
Это линейная функция $y = 2x + 5$ ($k = 2, b = 5$). Графиком является прямая.

• При $x = 0$, $y = 5 + 2 \cdot 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
• При $x = -1$, $y = 5 + 2 \cdot (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Проводим прямую через эти точки. Прямая наклонена к оси $Ox$ под острым углом ($k>0$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $5 + 2x = 0$, то есть $x = -2.5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2.5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2.5)$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения ($k = 2 > 0$).
• Четность/нечетность: функция общего вида ($y(-x) = 5 - 2x \neq y(x)$ и $\neq -y(x)$).

Ответ: График функции – прямая линия, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-1; 3)$. Функция возрастает на всей области определения. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Ноль функции: $x = -2.5$. Функция общего вида.

в) $y = -\frac{3}{x}$

Построение графика:
Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с $k = -3$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Составим таблицу значений:
$x$: -3, -1, -0.5, 0.5, 1, 3
$y$: 1, 3, 6, -6, -3, -1

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом из промежутков области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} = -(-\frac{3}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: График – гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Асимптоты: $x=0, y=0$. Область определения и значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$, нечетная.

г) $y = \frac{1}{2x^2}$

Построение графика:
График этой функции похож на график $y = \frac{1}{x^2}$, но "сжат" к оси $Ox$ в 2 раза. Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях, так как $y$ всегда положителен. График симметричен относительно оси $Oy$.
Таблица значений:
$x$: $\pm0.5, \pm1, \pm2$
$y$: 2, 0.5, 0.125

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{2(-x)^2} = \frac{1}{2x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=0$.

Ответ: График – кривая с двумя ветвями в I и II четвертях, симметричная относительно оси Oy. Асимптоты: $x=0, y=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений: $(0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, четная.

д) $y = -x^2$

Построение графика:
Это квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
Таблица значений:
$x$: 0, $\pm1, \pm2$
$y$: 0, -1, -4

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция четная, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$.
• Экстремумы: точка максимума $(0; 0)$, $y_{max} = 0$.

Ответ: График – парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$, область значений: $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, четная. Максимум функции $y_{max}=0$ при $x=0$.

е) $y = -x^3$

Построение графика:
Это кубическая функция. Графиком является кубическая парабола. Это график функции $y = x^3$, отраженный симметрично относительно оси $Ox$ (или оси $Oy$). График проходит через начало координат.
Таблица значений:
$x$: -2, -1, 0, 1, 2
$y$: 8, 1, 0, -1, -8

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на всей области определения.
• Четность/нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График – кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно него. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Функция убывает на всей области определения, нечетная. Ноль функции: $x=0$.

113. Используя график функции y = x³, решите уравнение:

а) Чтобы решить уравнение $x^3 = x + 1$ графически, необходимо найти абсциссы точек пересечения графиков двух функций: $y = x^3$ и $y = x + 1$.

Сначала построим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола, которая является нечетной функцией (симметрична относительно начала координат) и проходит через ключевые точки: $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$.

Затем в той же системе координат построим график функции $y = x + 1$. Это прямая линия. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, 1)$ (пересечение с осью OY) и $(-1, 0)$ (пересечение с осью OX).

Наложив графики друг на друга, мы увидим, что они пересекаются только в одной точке. Эта точка лежит в первой координатной четверти. Абсцисса (координата $x$) этой точки и является решением уравнения. Визуально можно определить, что абсцисса находится между 1 и 1.5. Более точная оценка дает значение примерно 1.3.

Ответ: $x \approx 1.3$.

б) Для решения уравнения $x^3 = 2x$ воспользуемся графическим методом. Для этого рассмотрим пересечение графиков функций $y = x^3$ и $y = 2x$.

График функции $y = x^3$ — это кубическая парабола, описанная в предыдущем пункте.

График функции $y = 2x$ — это прямая линия, проходящая через начало координат $(0, 0)$ с угловым коэффициентом 2. Для построения можно также использовать точку $(1, 2)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в трех точках. Абсциссы этих точек являются корнями исходного уравнения.

1. Одна точка пересечения — это начало координат $(0, 0)$. Следовательно, первый корень — $x_1 = 0$.

2. Вторая точка пересечения находится в первом квадранте. Ее абсцисса приблизительно равна $1.4$. (Точное значение этого корня $x_2 = \sqrt{2}$).

3. Третья точка пересечения находится в третьем квадранте. Так как обе функции ($y=x^3$ и $y=2x$) являются нечетными, их графики симметричны относительно начала координат. Поэтому абсцисса третьей точки пересечения будет противоположна абсциссе второй точки: $x_3 \approx -1.4$. (Точное значение этого корня $x_3 = -\sqrt{2}$).

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 \approx 1.4$, $x_3 \approx -1.4$.

в) Решим уравнение $x^3 = 2x + 1$ графически. Для этого найдем точки пересечения графиков функций $y = x^3$ и $y = 2x + 1$.

График функции $y = x^3$ — кубическая парабола.

График функции $y = 2x + 1$ — это прямая линия, параллельная прямой $y=2x$ из предыдущего пункта, но смещенная на 1 единицу вверх. Она проходит через точки $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.

Построим оба графика в одной системе координат. Мы видим, что они пересекаются в трех точках, следовательно, уравнение имеет три корня.

1. Одна из точек пересечения имеет целочисленную координату. Легко заметить по графику, что это точка с абсциссой $x_1 = -1$. Проверка подтверждает: $(-1)^3 = -1$ и $2(-1) + 1 = -1$.

2. Вторая точка пересечения находится в первом квадранте. Её абсцисса больше 1.5, приблизительно $x_2 \approx 1.6$. (Точное значение $x_2 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$).

3. Третья точка пересечения находится в отрицательной области, между $-1$ и $0$. Её абсцисса приблизительно $x_3 \approx -0.6$. (Точное значение $x_3 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$).

Ответ: $x_1 = -1$, $x_2 \approx 1.6$, $x_3 \approx -0.6$.

114. Постройте по точкам график функции и опишите её свойства:

а) $y = x^2 + 1$

1. Построение графика.
Графиком функции является парабола. Для ее построения составим таблицу значений, выбрав несколько удобных значений аргумента $x$ и вычислив соответствующие им значения функции $y$.

Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 1 = 1$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 1 = 2$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 1 = 2$.
Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 1 = 5$.
Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 1 = 5$.

Таким образом, мы получили точки: $(-2; 5)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 5)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Полученный график — парабола, которая является графиком функции $y=x^2$, смещенным на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$, а ее ветви направлены вверх.

2. Свойства функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.
• Область значений: $E(y) = [1; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение функции равно $0^2 + 1 = 1$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней ($x^2 = -1$), поэтому график функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
• Промежутки знакопостоянства: так как наименьшее значение функции равно 1, то $y > 0$ на всей области определения, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 1$. Точка минимума — $(0; 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0; 1)$, ветви которой направлены вверх. Основные свойства: область определения — все действительные числа; область значений — $[1; +\infty)$; функция четная; нулей нет, функция положительна на всей области определения; убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$; точка минимума $(0; 1)$.

б) $y = -x^2 + 4$

1. Построение графика.
Графиком функции является парабола. Составим таблицу значений для построения.

Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 4 = 4$.
Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 4 = 3$.
Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 4 = 3$.
Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 4 = 0$.
Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 4 = 0$.

Мы получили точки: $(-2; 0)$, $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(1; 3)$, $(2; 0)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График — парабола, которая является графиком функции $y=-x^2$, смещенным на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$, а ее ветви направлены вниз.

2. Свойства функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$. Поскольку $-x^2 \le 0$ для любого $x$, то наибольшее значение функции равно $-0^2 + 4 = 4$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4 = -x^2 + 4 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси $Oy$.
• Нули функции: решим уравнение $-x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) на интервале $(-2; 2)$; функция отрицательна ($y<0$) на интервалах $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 4$. Точка максимума — $(0; 4)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветви которой направлены вниз. Основные свойства: область определения — все действительные числа; область значений — $(-\infty; 4]$; функция четная; нули функции при $x = -2$ и $x = 2$; $y>0$ при $x \in (-2; 2)$; возрастает при $x \in (-\infty; 0]$ и убывает при $x \in [0; +\infty)$; точка максимума $(0; 4)$.