Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

100. Найдите область определения функции, заданной формулой:

а) $y = \frac{5}{|x - 1|}$

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. В данной функции присутствует дробь, знаменатель которой не может быть равен нулю.

Условие существования функции записывается как:

$|x - 1| \neq 0$

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Следовательно, чтобы знаменатель не был равен нулю, должно выполняться условие:

$x - 1 \neq 0$

Решая это, получаем:

$x \neq 1$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме 1. В виде интервала это записывается как объединение двух промежутков.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{x - 2}$

Для нахождения области определения этой функции необходимо учесть два ограничения, которые должны выполняться одновременно.

1. Выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным (больше или равно нулю).

$x - 1 \geq 0$

2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

$x - 2 \neq 0$

Составим и решим систему этих условий:

$\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases}$

Решим каждое условие по отдельности.

Из первого неравенства $x - 1 \geq 0$ получаем:

$x \geq 1$

Из второго условия $x - 2 \neq 0$ получаем:

$x \neq 2$

Итак, нам подходят все значения $x$, которые больше или равны 1, но не равны 2. Это означает, что из промежутка $[1; +\infty)$ нужно исключить точку 2.

Ответ: $x \in [1; 2) \cup (2; +\infty)$.

101. Найдите нули функции y = f (x), если:

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = f(x)$, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

а) $y = 7x^2 - 6x - 1$

Приравняем функцию к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$7x^2 - 6x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $1; -\frac{1}{7}$.

б) $y = \sqrt{7 - 14x}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$7 - 14x \ge 0$

$7 \ge 14x$

$x \le \frac{7}{14}$

$x \le \frac{1}{2}$

Теперь приравняем функцию к нулю:

$\sqrt{7 - 14x} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7 - 14x = 0$

$14x = 7$

$x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Найденное значение $x = \frac{1}{2}$ принадлежит области определения функции. Следовательно, это и есть нуль функции.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $y = \frac{2x + 3}{9 - 4x^2}$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Сначала найдем область определения функции, исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$9 - 4x^2 \ne 0$

$4x^2 \ne 9$

$x^2 \ne \frac{9}{4}$

$x \ne \pm \frac{3}{2}$

Теперь приравняем числитель к нулю:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

Полученное значение $x = -\frac{3}{2}$ не входит в область определения функции, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

г) $y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Проверим знаменатель: $x^2 + 16$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 16 \ge 16$. Значит, знаменатель никогда не равен нулю. Область определения функции — все действительные числа.

Приравняем числитель к нулю:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Это значение принадлежит области определения функции.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

102. Найдите нули функции y = f (x), если:

а) Чтобы найти нули функции $y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$, необходимо решить уравнение $y = 0$.

$\frac{|x| - 3}{|x + 3|} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} |x| - 3 = 0 \\ |x + 3| \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|x| - 3 = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим выполнение второго условия для найденных корней.
Второе условие системы: $|x + 3| \neq 0$, что означает $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, и функция в этой точке не определена. Поэтому $x = -3$ не является нулем функции.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$. Следовательно, это единственный нуль функции.

Ответ: 3

б) Чтобы найти нули функции $y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$, необходимо решить уравнение $y = 0$.

$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо учесть область определения функции, а именно, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Получаем систему условий:

$\begin{cases} \sqrt{3 - 2x} = 0 \\ x + 5 \neq 0 \\ 3 - 2x \geq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:
$\sqrt{3 - 2x} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$3 - 2x = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень остальным условиям системы.

1. Проверка условия $x + 5 \neq 0$:
Подставим $x = 1,5$: $1,5 + 5 = 6,5$. Так как $6,5 \neq 0$, условие выполняется.

2. Проверка условия $3 - 2x \geq 0$ (область определения корня):
Подставим $x = 1,5$: $3 - 2 \cdot 1,5 = 3 - 3 = 0$. Так как $0 \geq 0$, условие выполняется.

Поскольку значение $x = 1,5$ удовлетворяет всем условиям, оно является нулем функции.

Ответ: 1,5

103. Докажите, что функция, заданная формулой у = f (x), является чётной, если:

Для того чтобы доказать, что функция является чётной, необходимо показать, что для любого значения $x$ из её области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Также область определения функции должна быть симметрична относительно начала координат.

а) Дана функция $f(x) = 6 - 5x^2 + x^4$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

Теперь найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = 6 - 5(-x)^2 + (-x)^4$

Используем свойства степеней: $(-x)^{2n} = x^{2n}$ для любого целого $n$.
$f(-x) = 6 - 5x^2 + x^4$

Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

б) Дана функция $f(x) = 5|x|$.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которое симметрично относительно нуля.

Найдем значение функции от $-x$:
$f(-x) = 5|-x|$

Используем свойство модуля: $|-a| = |a|$.
$f(-x) = 5|x|$

Сравнивая полученное выражение с исходным, видим, что $f(-x) = f(x)$.
Так как оба условия выполняются, функция является чётной.

Ответ: Доказано, что функция является чётной.

104. Докажите, что функция y = f (x) является нечётной, если:

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для неё выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

1. Найдём область определения функции. Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит этой области, то и $-x$ ей принадлежит.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x) + \frac{1}{(-x)} = -x - \frac{1}{x}$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(x + \frac{1}{x})$.
Так как $f(x) = x + \frac{1}{x}$, то мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку оба условия для нечётной функции выполняются, данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $f(x) = 2x^3 - x$

1. Найдём область определения функции. Данная функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, или $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = 2(-x^3) + x = -2x^3 + x$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(2x^3 - x)$.
Так как $f(x) = 2x^3 - x$, то мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку оба условия для нечётной функции выполняются, данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $f(x) = 2x^3 - x$ является нечётной, что и требовалось доказать.

105. Определите, является ли функция y = f (x) чётной или нечётной, если:

Для определения чётности или нечётности функции необходимо проверить, удовлетворяет ли она соответствующим условиям.
Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Если ни одно из условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $f(x) = \frac{5}{x}$

1. Находим область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = -\frac{5}{x}$ и $-f(x) = -(\frac{5}{x}) = -\frac{5}{x}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

б) $f(x) = 5 - 3x^2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = 5 - 3(-x)^2 = 5 - 3x^2$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 5 - 3x^2$ и $f(x) = 5 - 3x^2$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

в) $f(x) = x^3 - x$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x)$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $-f(x)$: $f(-x) = -(x^3 - x)$ и $-f(x) = -(x^3 - x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $f(x) = 1 - |x|$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$, используя свойство модуля $|-a| = |a|$: $f(-x) = 1 - |-x| = 1 - |x|$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 1 - |x|$ и $f(x) = 1 - |x|$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

106. Известно, что функция y = f (x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является чётной. На рисунке 14, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является чётной. Главное свойство графика чётной функции заключается в его симметрии относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любой точки $(x, y)$, лежащей на графике, точка $(-x, y)$ также будет лежать на этом графике. Математически это свойство записывается в виде равенства: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Чтобы достроить графики, необходимо для каждой данной части построить её зеркальное отражение относительно оси OY.

На рисунке дана часть графика для $x \in [-6, 0]$. Эта часть представляет собой ломаную линию. Для её симметричного отражения определим координаты её ключевых точек (концов и точки излома):

• Левый конец отрезка: $(-6, -4)$.
• Точка излома (локальный максимум): $(-4, 4)$.
• Правый конец отрезка, лежащий на оси OY: $(0, -4)$.

Теперь найдём точки, симметричные им относительно оси OY, для построения недостающей части графика на промежутке $x \in [0, 6]$:

• Точке $(-6, -4)$ будет соответствовать точка $(6, -4)$.
• Точке $(-4, 4)$ будет соответствовать точка $(4, 4)$.
• Точка $(0, -4)$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама в себя.

Соединяем полученные точки отрезками в той же последовательности: сначала соединяем $(0, -4)$ и $(4, 4)$, а затем $(4, 4)$ и $(6, -4)$. Объединив исходную и достроенную части, получаем полный график функции.

Ответ: Достроенная часть графика — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки $(0, -4)$, $(4, 4)$ и $(6, -4)$.

В этом случае на рисунке изображена часть графика для $x \in [0, 4]$. Это кривая линия. Мы также должны отразить её симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x \in [-4, 0]$.

Определим координаты конечных точек данной кривой:

• Начальная точка на оси OY: $(0, -5)$.
• Конечная точка: $(4, 3)$.

Найдём симметричные им точки:

• Точка $(0, -5)$ лежит на оси OY и остаётся на месте.
• Точке $(4, 3)$ будет соответствовать симметричная точка $(-4, 3)$.

Чтобы завершить построение, проводим кривую линию из точки $(0, -5)$ в точку $(-4, 3)$ так, чтобы она была зеркальным отражением исходной кривой. Например, если на исходном графике есть точка $(2, -2)$, то на достроенной части будет точка $(-2, -2)$. Полный график состоит из двух симметричных ветвей, которые соединяются в точке $(0, -5)$.

Ответ: Достроенная часть графика — это кривая линия, симметричная данной относительно оси OY, которая соединяет точки $(0, -5)$ и $(-4, 3)$.