Страница 31 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

94. Масса (в кг) стального вала, имеющего цилиндрическую форму, вычисляется по формуле m = rpR²l, где p — плотность металла, из которого изготовлен вал, l и R — его длина и радиус соответственно (рис. 7). Найдите массу вала, изготовленного из стали плотностью 7700 кг/м³, имеющего длину 80 см и радиус 2,5 см. При вычислениях считать, что π = 3,14.

Для решения задачи воспользуемся формулой для вычисления массы цилиндрического вала: $m = \rho \pi R^2 l$. В этой формуле $m$ — масса, $\rho$ — плотность материала, $R$ — радиус основания цилиндра, а $l$ — его длина.

В условии даны следующие значения:

• Плотность стали $\rho = 7700$ кг/м?
• Длина вала $l = 80$ см
• Радиус вала $R = 2,5$ см
• Значение числа $\pi$ принять равным $3,14$

Поскольку плотность указана в кг/м?, для корректного расчета необходимо привести все линейные размеры (длину и радиус) к единой системе измерения — метрам. В 1 метре содержится 100 сантиметров.

1. Переведем длину вала из сантиметров в метры:
$l = 80 \text{ см} = \frac{80}{100} \text{ м} = 0,8 \text{ м}$

2. Переведем радиус вала из сантиметров в метры:
$R = 2,5 \text{ см} = \frac{2,5}{100} \text{ м} = 0,025 \text{ м}$

3. Теперь, когда все величины выражены в согласованных единицах, подставим их в исходную формулу:
$m = \rho \pi R^2 l = 7700 \cdot 3,14 \cdot (0,025)^2 \cdot 0,8$

4. Произведем вычисления по шагам:
Сначала возведем радиус в квадрат:
$R^2 = (0,025)^2 = 0,000625 \text{ м}^2$
Затем перемножим все значения:
$m = 7700 \cdot 3,14 \cdot 0,000625 \cdot 0,8$
$m = 24178 \cdot 0,000625 \cdot 0,8$
$m = 15,11125 \cdot 0,8$
$m = 12,089 \text{ кг}$

Ответ: масса стального вала равна 12,089 кг.

95. Энергия заряженного конденсатора W (в Дж) вычисляется по формуле W = $\frac{C{U}^2}{2}$, где C — ёмкость конденсатора (в Ф), а U — разность потенциалов на обкладках конденсатора (в В). Найдите энергию конденсатора (в Дж) ёмкостью 10⁻³ Ф, если разность потенциалов на обкладках конденсатора равна 40 В.

Для нахождения энергии конденсатора $W$ используется формула, предоставленная в условии задачи:

$W = \frac{CU^2}{2}$

В этой формуле:

• $C$ — ёмкость конденсатора, измеряемая в фарадах (Ф).
• $U$ — разность потенциалов на обкладках конденсатора, измеряемая в вольтах (В).

Согласно условию, нам известны следующие значения:

• Ёмкость конденсатора $C = 10^{-3}$ Ф.
• Разность потенциалов на обкладках $U = 40$ В.

Подставим эти значения в формулу для вычисления энергии $W$:

$W = \frac{10^{-3} \cdot (40)^2}{2}$

Сначала возведем в квадрат значение разности потенциалов:

$40^2 = 1600$

Теперь подставим полученное значение обратно в формулу:

$W = \frac{10^{-3} \cdot 1600}{2}$

Проведем вычисления:

$W = \frac{1.6}{2} = 0.8$

Энергия конденсатора составляет 0.8 Дж.

Ответ: 0.8

96. Измерьте длину, ширину и высоту своей комнаты. Вычислите площади стен и пола. Рассчитайте, какую сумму нужно потратить на покупку обоев и ламината для вашей комнаты. Данные по стоимости и размерам обоев и ламината возьмите из задачи 1 пункта 5 на с. 20.

Поскольку у меня нет своей комнаты для измерений, а также нет доступа к задаче 1, пункту 5 на странице 20, для решения я буду использовать примерные, но реалистичные данные для стандартной жилой комнаты, а также типичные характеристики и цены на строительные материалы.

Измерьте длину, ширину и высоту своей комнаты.

Примем следующие размеры комнаты:

• Длина (a): $5$ м
• Ширина (b): $4$ м
• Высота (h): $2.7$ м

Также предположим, что в комнате есть одно окно и одна дверь стандартных размеров:

• Размеры двери: $2$ м $\times$ $0.8$ м
• Размеры окна: $1.5$ м $\times$ $1.5$ м

Ответ: Размеры комнаты приняты как 5 м в длину, 4 м в ширину и 2.7 м в высоту.

Вычислите площади стен и пола.

1. Площадь пола.

Площадь пола вычисляется как произведение длины на ширину комнаты.
Формула: $S_{пола} = a \times b$
$S_{пола} = 5 \text{ м} \times 4 \text{ м} = 20 \text{ м}^2$.

2. Площадь стен.

Сначала вычислим общую площадь стен (периметр, умноженный на высоту), а затем вычтем из нее площади окна и двери.
Периметр комнаты: $P = 2 \times (a + b) = 2 \times (5 \text{ м} + 4 \text{ м}) = 18 \text{ м}$.
Общая площадь стен: $S_{общ\_стен} = P \times h = 18 \text{ м} \times 2.7 \text{ м} = 48.6 \text{ м}^2$.
Площадь двери: $S_{двери} = 2 \text{ м} \times 0.8 \text{ м} = 1.6 \text{ м}^2$.
Площадь окна: $S_{окна} = 1.5 \text{ м} \times 1.5 \text{ м} = 2.25 \text{ м}^2$.
Площадь стен, подлежащая оклейке обоями: $S_{стен} = S_{общ\_стен} - S_{двери} - S_{окна} = 48.6 - 1.6 - 2.25 = 44.75 \text{ м}^2$.

Ответ: Площадь пола составляет $20 \text{ м}^2$, площадь стен для поклейки обоев составляет $44.75 \text{ м}^2$.

Рассчитайте, какую сумму нужно потратить на покупку обоев и ламината для вашей комнаты.

Используем следующие данные о материалах (взятые как типичные, ввиду отсутствия данных из задачи 1, п.5):

• Ламинат: продается в упаковках по $2.1 \text{ м}^2$, стоимость одной упаковки — $1890$ рублей.
• Обои: рулон размером $10.05$ м $\times$ $0.53$ м, стоимость одного рулона — $1600$ рублей.

1. Расчет стоимости ламината.

Площадь пола: $20 \text{ м}^2$.
Ламинат покупают с запасом на подрезку (обычно 5-10%). Возьмем запас 10%.
Необходимая площадь ламината: $20 \text{ м}^2 \times 1.1 = 22 \text{ м}^2$.
Количество упаковок: $\frac{22 \text{ м}^2}{2.1 \text{ м}^2/\text{уп.}} \approx 10.48$ упаковок.
Поскольку ламинат продается целыми упаковками, необходимо приобрести $11$ упаковок.
Общая стоимость ламината: $11 \text{ уп.} \times 1890 \frac{\text{руб.}}{\text{уп.}} = 20790$ рублей.

2. Расчет стоимости обоев.

Площадь стен для оклейки: $44.75 \text{ м}^2$.
Площадь одного рулона обоев: $10.05 \text{ м} \times 0.53 \text{ м} \approx 5.3265 \text{ м}^2$.
Необходимое количество рулонов: $\frac{44.75 \text{ м}^2}{5.3265 \text{ м}^2/\text{рул.}} \approx 8.4$ рулонов.
С учетом необходимости подгонки рисунка и запаса на подрезку, округляем количество в большую сторону. Необходимо приобрести $9$ рулонов.
Общая стоимость обоев: $9 \text{ рул.} \times 1600 \frac{\text{руб.}}{\text{рул.}} = 14400$ рублей.

3. Общая сумма.

Суммарные затраты на ламинат и обои:
$20790 \text{ руб.} + 14400 \text{ руб.} = 35190$ рублей.

Ответ: На покупку обоев и ламината для комнаты нужно потратить 35190 рублей.

97. Евгения Владимировна хочет купить двухкомнатную квартиру в новом шестиэтажном доме. В доме 4 подъезда и 120 квартир. В каждом подъезде и на каждом этаже одинаковое количество квартир. В агентстве ей дали план придомовой территории (рис. 8). Сторона каждой клетки на плане 5 м.

У Евгении Владимировны двое маленьких детей, поэтому, прочитав описание, она сразу обратила внимание на обнесённый забором детский сад рядом с домом, а также на спортивную площадку, расположенную справа от детского сада и обозначенную на плане цифрой 1. Цифрой 4 на плане обозначен участок прямоугольной формы шириной 20 м под парковку для автомобилей.

1) Какой объект на плане обозначен цифрой 2 и какой — цифрой 3?

2) Какова площадь территории детского сада?

3) Евгении Владимировне предложили к просмотру квартиру 73. В каком подъезде и на каком этаже расположена эта квартира?

4) Минимальный размер машино-места для легкового автомобиля на парковке с учётом допустимых зазоров безопасности для легкового автомобиля составляет 5,3 на 2,5 м. Также обязателен проезд между рядами 6 м. Какое наибольшее количество автомобилей можно разместить на парковке, которая будет построена на участке, указанном в плане?

5) За какое наименьшее количество лет Евгения Владимировна сможет отдать ипотечный кредит на квартиру в размере 2 000 000 р., если погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов, ставка по кредиту составляет 10% годовых, а ежегодные выплаты не должны превышать 500 000 р.?

1) В условии сказано, что спортивная площадка, обозначенная цифрой 1, расположена справа от детского сада. Следовательно, объект, расположенный слева от спортивной площадки, является детским садом. На плане это объект под цифрой 3. Также в условии говорится, что детский сад находится рядом с домом. Самый крупный объект на плане, примыкающий к детскому саду, — это жилой дом, обозначенный цифрой 2.
Ответ: Цифрой 2 на плане обозначен жилой дом, а цифрой 3 — детский сад.

2) Детский сад на плане обозначен цифрой 3. Сторона одной клетки на плане равна 5 м. Таким образом, площадь одной клетки составляет $5 \text{ м} \times 5 \text{ м} = 25 \text{ м}^2$. Фигура, обозначающая детский сад, занимает 20 клеток (можно посчитать напрямую или как разность площадей прямоугольников: $6 \times 4 - 2 \times 2 = 24 - 4 = 20$ клеток). Чтобы найти общую площадь, умножим количество клеток на площадь одной клетки: $20 \times 25 \text{ м}^2 = 500 \text{ м}^2$.
Ответ: $500 \text{ м}^2$.

3) В доме 120 квартир, 4 подъезда и 6 этажей. В каждом подъезде и на каждом этаже одинаковое количество квартир. Сначала найдём количество квартир в одном подъезде: $120 \text{ квартир} / 4 \text{ подъезда} = 30$ квартир в подъезде. Теперь найдём, в каком подъезде находится квартира 73.

• Подъезд 1: квартиры 1–30
• Подъезд 2: квартиры 31–60
• Подъезд 3: квартиры 61–90
• Подъезд 4: квартиры 91–120

Квартира 73 находится в 3-м подъезде. Далее найдём количество квартир на одном этаже в подъезде: $30 \text{ квартир} / 6 \text{ этажей} = 5$ квартир на этаже. Чтобы найти этаж, определим порядковый номер квартиры внутри её подъезда. Так как в первых двух подъездах 60 квартир, то номер квартиры 73 внутри своего подъезда будет: $73 - 60 = 13$. Теперь разделим этот номер на количество квартир на этаже: $13 / 5 = 2.6$. Округляем в большую сторону, так как 2 этажа уже полностью "заселены" (10 квартир), а 13-я квартира находится на следующем, третьем этаже.
Ответ: Квартира 73 расположена в 3-м подъезде на 3-м этаже.

4) Участок для парковки обозначен цифрой 4. Из плана видно, что его размеры 8 клеток в длину и 4 клетки в ширину. Поскольку сторона клетки 5 м, размеры участка: $8 \times 5 = 40$ м и $4 \times 5 = 20$ м. Площадь парковки $40 \text{ м} \times 20 \text{ м}$. Размер машино-места — $5,3 \times 2,5$ м. Ширина проезда между рядами — 6 м. Рассмотрим два варианта размещения.
Вариант 1: Ряды машин располагаются вдоль стороны 40 м. Глубина парковочного места — 5,3 м. Вдоль стороны 20 м можно разместить два ряда машин и один проезд между ними: $5,3 \text{ м} + 6 \text{ м} + 5,3 \text{ м} = 16,6$ м, что меньше 20 м. В каждом ряду длиной 40 м поместится $\lfloor \frac{40}{2,5} \rfloor = 16$ автомобилей. Общее количество: $16 \times 2 = 32$ автомобиля.
Вариант 2: Ряды машин располагаются вдоль стороны 20 м. Глубина парковочного места — 5,3 м. Вдоль стороны 40 м можно разместить $n$ рядов машин и $n-1$ проездов между ними. Проверим, сколько рядов поместится:

• 2 ряда и 1 проезд: $2 \times 5,3 + 1 \times 6 = 16,6$ м (помещается в 40 м)
• 3 ряда и 2 проезда: $3 \times 5,3 + 2 \times 6 = 15,9 + 12 = 27,9$ м (помещается в 40 м)
• 4 ряда и 3 проезда: $4 \times 5,3 + 3 \times 6 = 21,2 + 18 = 39,2$ м (помещается в 40 м)
• 5 рядов и 4 проезда: $5 \times 5,3 + 4 \times 6 = 26,5 + 24 = 50,5$ м (не помещается в 40 м)

Максимально можно разместить 4 ряда. В каждом ряду длиной 20 м поместится $\lfloor \frac{20}{2,5} \rfloor = 8$ автомобилей. Общее количество: $8 \times 4 = 32$ автомобиля.
В обоих вариантах максимальное количество автомобилей одинаково.
Ответ: 32.

5) Чтобы погасить кредит как можно быстрее, Евгения Владимировна должна вносить максимально возможный ежегодный платёж, то есть 500 000 р. Сумма кредита: $S_0 = 2\,000\,000$ р. Ставка: 10% годовых. Расчёт долга по годам (долг на конец года = (долг на начало года $\times 1,1$) - платёж):

• Конец 1-го года: $2\,000\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 2\,200\,000 - 500\,000 = 1\,700\,000$ р.
• Конец 2-го года: $1\,700\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,870\,000 - 500\,000 = 1\,370\,000$ р.
• Конец 3-го года: $1\,370\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,507\,000 - 500\,000 = 1\,007\,000$ р.
• Конец 4-го года: $1\,007\,000 \times 1,1 - 500\,000 = 1\,107\,700 - 500\,000 = 607\,700$ р.
• Конец 5-го года: $607\,700 \times 1,1 - 500\,000 = 668\,470 - 500\,000 = 168\,470$ р.

После 5-го платежа остаток долга составляет 168 470 р. В 6-м году на эту сумму будут начислены проценты: $168\,470 \times 1,1 = 185\,317$ р. Эта сумма меньше максимального ежегодного платежа (500 000 р.), поэтому она будет погашена одним последним платежом в 6-м году. Таким образом, для полного погашения кредита потребуется 6 лет.
Ответ: 6.