Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

76. Используя диаграмму на рисунке 4 и информацию из текста параграфа, заполните таблицу относительного прироста количества найденных значащих цифр после запятой в числе π для каждого столбца диаграммы в сравнении с предыдущим столбцом (результат в таблицу запишите с точностью до одной десятой).

Для решения задачи необходимо вычислить относительный прирост количества найденных значащих цифр после запятой в числе $\pi$ для каждого столбца диаграммы по сравнению с предыдущим. Относительный прирост (П) вычисляется по формуле:

$П = \frac{N_{текущее} - N_{предыдущее}}{N_{предыдущее}}$

где $N_{текущее}$ — количество знаков в рассматриваемом году, а $N_{предыдущее}$ — количество знаков в предыдущем периоде.

Для расчетов воспользуемся данными о количестве известных знаков числа $\pi$, которые обычно приводятся в соответствующих диаграммах (рисунок 4) и текстах в учебных материалах:

• До XV века: 7
• 1450 г. (XV век): 16
• 1706 г. (XVIII век): 100
• 1949 г.: 2 000
• 1957 г.: 7 500
• 1961 г.: 100 000
• 1973 г.: 1 000 000
• 1985 г.: 17 500 000
• 2020 г.: 50 000 000 000 000 ($5 \cdot 10^{13}$)
• 2021 г.: 62 800 000 000 000 ($6.28 \cdot 10^{13}$)

Теперь рассчитаем относительный прирост для каждого года из таблицы с точностью до одной десятой.

Прирост для 1450 г.

Для 1450 года сравнение проводится с предыдущим известным значением — до XV века (7 знаков).

$П_{1450} = \frac{16 - 7}{7} = \frac{9}{7} \approx 1.2857...$

Ответ: 1.3

Прирост для 1706 г.

Сравниваем со значением для 1450 г. (16 знаков).

$П_{1706} = \frac{100 - 16}{16} = \frac{84}{16} = 5.25$

Ответ: 5.3

Прирост для 1949 г.

Сравниваем со значением для 1706 г. (100 знаков).

$П_{1949} = \frac{2000 - 100}{100} = \frac{1900}{100} = 19.0$

Ответ: 19.0

Прирост для 1957 г.

Сравниваем со значением для 1949 г. (2 000 знаков).

$П_{1957} = \frac{7500 - 2000}{2000} = \frac{5500}{2000} = 2.75$

Ответ: 2.8

Прирост для 1961 г.

Сравниваем со значением для 1957 г. (7 500 знаков).

$П_{1961} = \frac{100000 - 7500}{7500} = \frac{92500}{7500} \approx 12.333...$

Ответ: 12.3

Прирост для 1973 г.

Сравниваем со значением для 1961 г. (100 000 знаков).

$П_{1973} = \frac{1000000 - 100000}{100000} = \frac{900000}{100000} = 9.0$

Ответ: 9.0

Прирост для 1985 г.

Сравниваем со значением для 1973 г. (1 000 000 знаков).

$П_{1985} = \frac{17500000 - 1000000}{1000000} = \frac{16500000}{1000000} = 16.5$

Ответ: 16.5

Прирост для 2020 г.

Сравниваем со значением для 1985 г. (17 500 000 знаков).

$П_{2020} = \frac{50 \cdot 10^{12} - 17.5 \cdot 10^{6}}{17.5 \cdot 10^{6}} \approx \frac{50 \cdot 10^{12}}{17.5 \cdot 10^{6}} \approx 2857141.857...$

Ответ: 2857141.9

Прирост для 2021 г.

Сравниваем со значением для 2020 г. ($50 \cdot 10^{12}$ знаков).

$П_{2021} = \frac{62.8 \cdot 10^{12} - 50 \cdot 10^{12}}{50 \cdot 10^{12}} = \frac{12.8 \cdot 10^{12}}{50 \cdot 10^{12}} = \frac{12.8}{50} = 0.256$

Ответ: 0.3

Итоговая заполненная таблица:

77. Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на π см². Найдите радиус круга.

Обозначим первоначальный радиус круга как $r$ (в см). Тогда первоначальная площадь круга, $S_1$, вычисляется по формуле: $S_1 = \pi r^2$.

Согласно условию задачи, радиус сначала увеличили в 2 раза, и он стал равен $2r$. Затем его уменьшили на 1 см, так что новый радиус, $r_2$, стал равен $2r - 1$. Поскольку радиус должен быть положительной величиной, должно выполняться условие $r_2 > 0$, то есть $2r - 1 > 0$, откуда $r > 0.5$ см.

Новая площадь круга, $S_2$, с новым радиусом $r_2$ равна: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r - 1)^2$.

В задаче сказано, что новая площадь стала на $\pi$ см? больше первоначальной. Это можно записать в виде уравнения: $S_2 - S_1 = \pi$.

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение: $\pi (2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $(2r - 1)^2 - r^2 = 1$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(4r^2 - 4r + 1) - r^2 = 1$.

Приведем подобные слагаемые: $3r^2 - 4r + 1 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $3r^2 - 4r = 0$.

Вынесем общий множитель $r$ за скобки: $r(3r - 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $r$: $r = 0$ или $3r - 4 = 0$.

Первый корень $r = 0$ не подходит, так как радиус круга должен быть положительным числом. Решим второе уравнение: $3r = 4$ $r = \frac{4}{3}$.

Это значение $r = \frac{4}{3}$ см (или $1\frac{1}{3}$ см) удовлетворяет ранее найденному условию $r > 0.5$ см.

Ответ: $\frac{4}{3}$ см.

78. Возьмите дома круглый предмет. Измерьте длину его окружности и диаметра. Разделите длину окружности на длину диаметра и узнайте, с какой точностью вам удалось экспериментально найти число π.

Для выполнения этого экспериментального задания возьмем круглый предмет, например, обычную чашку. Для измерений нам понадобится гибкая измерительная лента, или, если ее нет, можно использовать обычную нитку и линейку.

Шаг 1: Измерение диаметра и длины окружности.

Сначала измерим диаметр ($d$). Для этого приложим линейку к верхнему краю чашки так, чтобы она проходила точно через центр окружности. Важно найти самое широкое место. Предположим, что в результате измерения мы получили диаметр $d = 8.7 \text{ см}$.

Далее измерим длину окружности ($C$). Для этого плотно, но без натяжения, обернем чашку ниткой по внешнему краю. Отметим на нитке место, где она смыкается в кольцо. После этого развернем нитку и измерим ее длину с помощью линейки. Допустим, измеренная длина окружности оказалась равна $C = 27.2 \text{ см}$.

Шаг 2: Расчет экспериментального значения числа $\pi$.

Число $\pi$ по определению является отношением длины окружности к ее диаметру. Используем наши измерения для его нахождения:

$\pi_{эксп} = \frac{C}{d}$

Подставим полученные значения:

$\pi_{эксп} = \frac{27.2 \text{ см}}{8.7 \text{ см}} \approx 3.126436...$

Округлим полученное значение до сотых для удобства: $\pi_{эксп} \approx 3.13$.

Шаг 3: Оценка точности.

Теперь сравним полученный результат с общеизвестным значением числа $\pi$, которое приблизительно равно $3.14159...$.

Наш экспериментальный результат $\pi_{эксп} \approx 3.13$ очень близок к истинному значению. Первые две цифры (3 и 1) совпали полностью. Расхождение наблюдается в разряде сотых.

Найдем абсолютную погрешность, то есть разницу между истинным и экспериментальным значением:

$\Delta = |\pi_{ист} - \pi_{эксп}| \approx |3.1416 - 3.1264| \approx 0.0152$

Найдем относительную погрешность, чтобы понять, насколько велика ошибка по сравнению с самим числом:

$\epsilon = \frac{\Delta}{\pi_{ист}} \times 100\% \approx \frac{0.0152}{3.1416} \times 100\% \approx 0.48\%$

Полученная относительная погрешность менее 1% является очень хорошим результатом для такого простого бытового эксперимента. Источниками неточности могли быть: неидеально круглая форма чашки, сложность в точном определении центра при измерении диаметра, толщина нитки, ее возможное растяжение и точность самой линейки (обычно до 1 мм).

Ответ: В ходе эксперимента, используя чашку с измеренным диаметром $d=8.7$ см и длиной окружности $C=27.2$ см, было получено экспериментальное значение числа пи: $\pi \approx 3.13$. Это значение совпадает с истинным значением $\pi \approx 3.14159...$ с точностью до десятых. Погрешность в сотых долях составила около $0.01-0.02$, что соответствует относительной погрешности менее $0.5\%$.

79. На координатной прямой отмечена точка с координатой a (рис. 5). Перечертите рисунок в тетрадь, а затем отметьте на прямой точки, координаты которых равны:

2a ; –a ; a + 1; a – 2.

а)

На координатной прямой а) точка с координатой a находится между 0 и 1. Это означает, что a — положительное число, меньшее единицы, то есть $0 < a < 1$. Для удобства рассуждений можно принять, что a находится примерно на 2/3 расстояния от 0 до 1, то есть $a \approx \frac{2}{3}$.

Теперь определим положение каждой из требуемых точек:

• Точка $2a$: Так как $0 < a < 1$, то, умножив неравенство на 2, получим $0 < 2a < 2$. Расстояние от начала координат до этой точки будет в два раза больше, чем расстояние от 0 до a. Если $a \approx \frac{2}{3}$, то $2a \approx \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. Эта точка будет правее 1.
• Точка $-a$: Эта точка симметрична точке a относительно начала координат (точки 0). Так как $0 < a < 1$, то, умножив на -1, получим $-1 < -a < 0$. Точка будет находиться между -1 и 0.
• Точка $a + 1$: Эта точка получается путем сдвига точки a на 1 единицу вправо. Так как $0 < a < 1$, то, прибавив 1, получим $1 < a + 1 < 2$. Эта точка будет правее 1. Сравним ее с $2a$: $a+1-2a = 1-a$. Поскольку $a < 1$, разность $1-a$ положительна, следовательно, $a+1 > 2a$.
• Точка $a - 2$: Эта точка получается путем сдвига точки a на 2 единицы влево. Так как $0 < a < 1$, то, вычтя 2, получим $-2 < a - 2 < -1$. Эта точка будет находиться между -2 и -1.

Таким образом, точки на координатной прямой расположатся в следующем порядке (слева направо): $a-2$, $-a$, $a$, $2a$, $a+1$.

Ответ:

б)

На координатной прямой б) точка с координатой a находится между -2 и 1. Визуально она расположена левее 0, то есть a — отрицательное число. Также она находится ближе к -2, чем к 1, значит, $a < -0.5$ (середина отрезка [-2, 1]). Можно предположить, что $-2 < a < -1$, например, $a \approx -1.5$.

Определим положение каждой из требуемых точек:

• Точка $2a$: Так как a — отрицательное число, то $2a$ будет еще левее, чем a. Если $-2 < a < -1$, то, умножив на 2, получим $-4 < 2a < -2$. Эта точка будет левее -2.
• Точка $-a$: Эта точка симметрична точке a относительно нуля. Так как $-2 < a < -1$, то, умножив на -1, получим $1 < -a < 2$. Эта точка будет находиться между 1 и 2.
• Точка $a + 1$: Эта точка получается сдвигом точки a на 1 единицу вправо. Так как $-2 < a < -1$, то, прибавив 1, получим $-1 < a + 1 < 0$. Точка будет находиться между -1 и 0.
• Точка $a - 2$: Эта точка получается сдвигом точки a на 2 единицы влево. Так как $-2 < a < -1$, то, вычтя 2, получим $-4 < a - 2 < -3$. Эта точка будет левее точки $2a$.

Таким образом, точки на координатной прямой расположатся в следующем порядке (слева направо): $a-2$, $2a$, $a$, $a+1$, $-a$.

Ответ: