Номер 78, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Точность представления действительных чисел в виде десятичных дробей. Число n. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 78, страница 28.

Условие.

78. Возьмите дома круглый предмет. Измерьте длину его окружности и диаметра. Разделите длину окружности на длину диаметра и узнайте, с какой точностью вам удалось экспериментально найти число π.

Решение 1.

Решение 8.

Для выполнения этого экспериментального задания возьмем круглый предмет, например, обычную чашку. Для измерений нам понадобится гибкая измерительная лента, или, если ее нет, можно использовать обычную нитку и линейку.

Шаг 1: Измерение диаметра и длины окружности.

Сначала измерим диаметр ($d$). Для этого приложим линейку к верхнему краю чашки так, чтобы она проходила точно через центр окружности. Важно найти самое широкое место. Предположим, что в результате измерения мы получили диаметр $d = 8.7 \text{ см}$.

Далее измерим длину окружности ($C$). Для этого плотно, но без натяжения, обернем чашку ниткой по внешнему краю. Отметим на нитке место, где она смыкается в кольцо. После этого развернем нитку и измерим ее длину с помощью линейки. Допустим, измеренная длина окружности оказалась равна $C = 27.2 \text{ см}$.

Шаг 2: Расчет экспериментального значения числа $\pi$.

Число $\pi$ по определению является отношением длины окружности к ее диаметру. Используем наши измерения для его нахождения:

$\pi_{эксп} = \frac{C}{d}$

Подставим полученные значения:

$\pi_{эксп} = \frac{27.2 \text{ см}}{8.7 \text{ см}} \approx 3.126436...$

Округлим полученное значение до сотых для удобства: $\pi_{эксп} \approx 3.13$.

Шаг 3: Оценка точности.

Теперь сравним полученный результат с общеизвестным значением числа $\pi$, которое приблизительно равно $3.14159...$.

Наш экспериментальный результат $\pi_{эксп} \approx 3.13$ очень близок к истинному значению. Первые две цифры (3 и 1) совпали полностью. Расхождение наблюдается в разряде сотых.

Найдем абсолютную погрешность, то есть разницу между истинным и экспериментальным значением:

$\Delta = |\pi_{ист} - \pi_{эксп}| \approx |3.1416 - 3.1264| \approx 0.0152$

Найдем относительную погрешность, чтобы понять, насколько велика ошибка по сравнению с самим числом:

$\epsilon = \frac{\Delta}{\pi_{ист}} \times 100\% \approx \frac{0.0152}{3.1416} \times 100\% \approx 0.48\%$

Полученная относительная погрешность менее 1% является очень хорошим результатом для такого простого бытового эксперимента. Источниками неточности могли быть: неидеально круглая форма чашки, сложность в точном определении центра при измерении диаметра, толщина нитки, ее возможное растяжение и точность самой линейки (обычно до 1 мм).

Ответ: В ходе эксперимента, используя чашку с измеренным диаметром $d=8.7$ см и длиной окружности $C=27.2$ см, было получено экспериментальное значение числа пи: $\pi \approx 3.13$. Это значение совпадает с истинным значением $\pi \approx 3.14159...$ с точностью до десятых. Погрешность в сотых долях составила около $0.01-0.02$, что соответствует относительной погрешности менее $0.5\%$.