Номер 74, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Практико-ориентированные задачи. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 74, страница 25.

Условие.

74. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3y - 2x = 10, \\ 7x + 5y = 27. \end{cases} $

Для удобства решения методом алгебраического сложения приведем уравнения к стандартному виду $ax + by = c$, поменяв местами слагаемые в первом уравнении: $ \begin{cases} -2x + 3y = 10, \\ 7x + 5y = 27. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 7, а второе на 2. Это позволит получить коэффициенты при $x$, которые являются противоположными числами ($-14$ и $14$). $ \begin{cases} 7 \cdot (-2x + 3y) = 7 \cdot 10, \\ 2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 27. \end{cases} $

В результате получаем новую систему: $ \begin{cases} -14x + 21y = 70, \\ 14x + 10y = 54. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно: $(-14x + 21y) + (14x + 10y) = 70 + 54$
$(-14x + 14x) + (21y + 10y) = 124$
$31y = 124$

Найдем $y$: $y = \frac{124}{31}$
$y = 4$

Подставим найденное значение $y=4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое: $3y - 2x = 10$. $3 \cdot 4 - 2x = 10$
$12 - 2x = 10$
$-2x = 10 - 12$
$-2x = -2$
$x = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; 4)$.

Ответ: $x = 1, y = 4$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 0,4x - 0,2y = 0,4, \\ x + 11y = 12,5. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить переменную $x$: $x = 12,5 - 11y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы: $0,4(12,5 - 11y) - 0,2y = 0,4$

Для удобства вычислений, можно умножить обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10 \cdot (0,4(12,5 - 11y) - 0,2y) = 10 \cdot 0,4$
$4(12,5 - 11y) - 2y = 4$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $4 \cdot 12,5 - 4 \cdot 11y - 2y = 4$
$50 - 44y - 2y = 4$
$50 - 46y = 4$
$-46y = 4 - 50$
$-46y = -46$
$y = 1$

Теперь, зная значение $y$, найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=1$ в выражение для $x$: $x = 12,5 - 11y$
$x = 12,5 - 11 \cdot 1$
$x = 12,5 - 11$
$x = 1,5$

Решением системы является пара чисел $(1,5; 1)$.

Ответ: $x = 1,5, y = 1$.